3.Векторная алгебра.

3.1Основные понятия.

Вектором называется направленный отрезок. Длиной вектора называется длина соответствующего отрезка.

Векторы обозначают строчными латинскими буквами с чертой вверху: или , где точка A - начало, B - конец вектора. Длина вектора обозначается .

Вектор изображается отрезком со стрелкой, указывающей направление вектора.

Вектор , начало и конец которого находятся в одной точке, называется нулевым и обозначается . Длина нулевого вектора , направление не определено.

Определение 1.

Два или более векторов, лежащих на параллельных прямых, называются коллинеарными, лежащих на прямых, параллельных одной плоскости, - компланарными.

Коллинеарность векторов и обозначается . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору . Очевидно, любые два вектора компланарны.

Определение 2.

Векторы и называются равными ( ), если , и и сонаправлены (направлены в одну сторону).

Из этого определения следует, что в качестве начала вектора можно выбрать любую точку, т. е. рассматриваются свободные векторы.

Рис. 1.

Углом  между векторами и , называется наименьший угол, образуемый векторами при совмещении их начал (рис. 1). Для коллинеарных векторов или . Если , то векторы и называются ортогональными ( ).

3.2Линейные операции над векторами.

К линейным операциям относятся операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Определение 3.

Произведением вектора на число называется вектор (обозначается ), такой что , , векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при . (При по определению ).

Определение 4.

Суммой векторов и называется вектор (обозначается ), соединяющий начало вектора с концом вектора , при условии, что начало помещено в конец (рис. 2).

Замечание 1. Сумму неколлинеарных векторов и можно определить как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 3).

Рис. 3.

Рис. 2.

Вектор называется противоположным вектору .

Рис. 4.

Разность векторов и (обозначается ) можно определить как сумму векторов и :

Геометрически разность равна отрезку, соединяющему концы векторов и , при условии, что их начала совмещены, и направленному от конца к концу (рис. 4).

Замечание 2. Для того, чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде произведения некоторого числа на другой вектор.

Действительно, если , то , где  - любое число; если же, например, , то , где и , когда и сонаправлены, , когда и противоположно направлены. Обратное утверждение следует из определения 3.

Теорема 1 (Свойства линейных операций над векторами).

Для произвольных векторов и любых действительных чисел ,  выполняются следующие равенства: 1) 2) 3) , 4) 5) 6) 7) 8) .