1.Матрицы и определители.

1.1Матрицы. Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

.

Числа - элементы матрицы; первый индекс i - номер строки, в которой находится элемент , второй индекс j - номер столбца.

Матрица, содержащая m строк и n столбцов, имеет размерность mn.

Сокращенная запись матрицы

Две матрицы одинаковой размерности называются равными , если равны их соответствующие элементы.

Матрица размерности m1 называется матрицей-столбцом, размерности 1n - матрицей-строкой.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой .

Матрица размерности nn называется квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица вида

,

где 0 называется диагональной.

Диагональная матрица E , у которой 1, называется единичной:

.

Матрица, у которой в каждой строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент расположен правее, чем первый ненулевой элемент в предыдущей строке, называется матрицей ступенчатого вида.

Пример 1. Матрица

размерности 56 является матрицей ступенчатого вида.

1.2Операции над матрицами.

Матрица , полученная из A заменой строк столбцами (столбцов строками), называется транспонированной.

Очевидно, если A имеет размерность mn , то размерность nm. В частности , если A матрица-столбец , то - матрица-строка и наоборот.

Обозначим

Произведением матрицы A на число  называется матрица В=A, полученная умножением всех элементов матрицы A на число :

.

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц:

.

Произведением матрицы A размерности mn на матрицу B размерности nk называется матрица размерности mk, элементы которой вычисляются по формуле:

.

Пример 2. Даны матрицы

.

Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

а) .

б) .

в) .

г)

.

Замечание. Как следует из определения, произведение матриц существует лишь в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Поэтому из существования не следует, что существует .

В примере 2 г имеет размерность 23, - 32. существует и имеет размерность 22. Существует и , но размерность ее 33.

Таким образом, в общем случае

даже если существуют оба произведения.

Свойства операций над матрицами:

1) ;

2) ;

3) нулевая матрица );

4) ;

5) ;

6) ;

7) единичная матрица )

при условии, что соответствующие операции выполнимы.

1.3Определители.

Определителем матрицы 2-го порядка

называется число .

Пример 3. Для матрицы

.

Определителем матрицы 3-го порядка

называется

.

При вычислении определителей третьего порядка пользуются "правилом треугольников":

с плюсом берутся произведения элементов, расположенных на главной диагонали: и на треугольниках со сторонами, параллельными главной диагонали; с минусом - произведения элементов побочной диагонали: и на треугольниках, со сторонами, параллельными ей.

Пример 4. Для матрицы

Минором элемента определителя  называется определитель на единицу меньшего порядка, полученный из  вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Минором определителя третьего порядка будет определитель второго порядка; минором определителя второго порядка является определитель первого порядка, содержащий одно число - он равен этому числу.

Алгебраическим дополнением элемента определителя  называется число

Пример 5.

;

Теорема (о разложении определителя по элементам строки (столбца)).

Определитель  равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, для определителя

или

Теорему можно использовать для вычисления определителей.

Пример 6. Для определителя примера 4

Приведенный способ вычисления определителей путем разложения по элементам строки или столбца может быть положен в основу определения определителей 4, 5 и т. д. порядков.

Определителем четвертого порядка называется число

Здесь алгебраические дополнения - определители третьего порядка.

Используя определитель четвертого порядка, можно аналогичным образом определить определитель пятого, затем шестого и т. д. порядков.

Замечание. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца) справедлива для определителей любого порядка.

Следовательно, определитель, например, четвертого порядка можно вычислять путем разложения по элементам любой строки (столбца) (а не только по элементам первой строки - как в определении).

Пример 7. Вычислить определитель

Разлагая определитель по элементам первого столбца и учитывая, что в нем все элементы, кроме первого, равны нулю, получим

Для вычисления последнего определителя (n-1) - го порядка применим тот же прием. Продолжая этот процесс, окончательно получим

Замечание. Определитель, в котором все элементы ниже (или выше) главной диагонали нулевые, называется определителем треугольного вида. Из примера 7 следует, что определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.