3.9Евклидовы пространства.

Определение 14.

Линейное пространство Е называется евклидовым, если в нем определено скалярное произведение векторов: любым векторам и из Е поставлено в соответствие число , так что выполняются аксиомы ; ; ; , если , где , , – любые векторы из Е, – любое число.

Пространство геометрических векторов со скалярным произведением , определенным в п. 5, является евклидовым: выполнение аксиомы 4 следует из определения скалярного произведения, аксиом 1-3 – из теоремы 5.

В евклидовом пространстве можно определить длину вектора , полагая

(16)

и угол между векторами и

. (17)

Пример 6. В пространстве (задача 5, г) для векторов и определим скалярное произведение

.

Легко проверить, что аксиомы 1-4 выполняются, так что является евклидовым пространством. Длина вектора в соответствии с (16)

Так как в евклидовом пространстве определены длина вектора и угол между векторами, то можно говорить об ортонормированном базисе. Можно доказать, что в любом n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Так, в ортонормированным является базис

Действительно, для любого , и для любых , откуда, в соответствии с (17)

где – угол между векторами и .

4.Список литературы

1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1980.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.,Наука, 1981.

5.Задачи для контрольных заданий.

5.1Элементы линейной алгебры.

1-10. Вычислить определитель четвертого порядка.

11-20. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) матричным методом.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

21-30. Записать систему линейных уравнений по ее расширенной матрице G. Исследовать совместность полученной системы и решить ее методом Гаусса.

5.2Элементы векторной алгебры.

31-40. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AC; 2) площадь и высоту BF треугольника BCD; 3) объем пирамиды ABCD и высоту, опущенную из точки A на грань BCD.

41-50. Даны векторы в некотором базисе. Найти: 1) проекцию вектора на вектор ; 2) векторное произведение . Проверить, образуют ли векторы базис? Если да, то какой базис: левый или правый?

41. 

42. 

43. 

44. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

5.3Контрольные задания.

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задание на контрольную работу N 1 «Элементы линейной и векторной алгебры». Студент должен выполнять контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).

Вариант	Номера задач контрольной работы N 1
1	1	11	21	31	41
2	2	12	22	32	42
3	3	13	23	33	43
4	4	14	24	34	44
5	5	15	25	35	45
6	6	16	26	36	46
7	7	17	27	37	47
8	8	18	28	38	48
9	9	19	29	39	49
10	10	20	30	40	50