3.6Векторное произведение векторов.
Рис. 12.
Рис. 13.
)
наблюдается против часовой стрелки
(рис. 12). Если указанный поворот происходит
по часовой стрелке, тройка векторов
называется левой (рис. 13).
Замечание 5. В соответствии с ориентацией тройки базисных векторов различают правую и левую систему координат в пространстве.
Определение 10.
|
Векторным
произведением неколлинеарных
векторов
и
(обозначается
Если
|
)
называется вектор
такой что:
,
где
- угол между
и
;
,
то по определению
.
Теорема 7 (Свойства векторного произведения).
|
1) тогда и только тогда, когда ;
2)
3)
4)
где - любые векторы, - любое число. |
(векторное произведение антикоммутативно);
;
,
Теорема 8. (Геометрический смысл векторного произведения).
|
Для неколлинеарных
векторов
и
длина их векторного произведения
|
равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах (рис.
14).
Рис. 14.
Теорема 9 (Векторное произведение в ортонормированном базисе).
|
Пусть в правом
ортонормированном базисе
|
,
.
Тогда
Пример 4. В
прямоугольной декартовой системе
координат заданы точки
.
Найти площадь треугольника
.
Рис. 15.
По теореме 8
В соответствии с (3), найдем
По формуле (11)
По формуле (9)
Таким образом
3.7Смешанное произведение векторов.
Определение 11.
|
Смешанным
произведением
векторов
(векторное
произведение векторов
|
(обозначается
)
называется число
и
умножается скалярно на вектор
).
Теорема 10 (Свойства смешанного произведения).
|
1)
2) если в смешанном произведении поменять местами два вектора , то знак смешанного произведения изменится на противоположный;
3)
4)
где
|
тогда и только тогда, когда векторы
компланарны;
- любые векторы,
- любое число.
Теорема 11 (Геометрический смысл смешанного произведения).
|
Для некомпланарных
векторов
абсолютная величина их смешанного
произведения
При
этом
|
равна объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах (рис.
16).
,
если тройка
правая, и
,если
тройка левая.
Рис. 16.
Теорема 12 (Смешанное произведение в ортонормированном базисе).
|
Пусть в правом
ортонормированном базисе
Тогда
|
(12)
Пример 5. В
пирамиде
найти высоту, опущенную из вершины
(рис. 17), если в прямоугольной декартовой
системе координат
Объем пирамиды
Рис. 17.
- высота пирамиды,
- площадь основания. Объем пирамиды
равен 1/6 объема
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
площадь основания - площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
(пример 4).
По формуле (3)
По формуле (11)
По теореме 8
По теореме 11, с учетом (12)
(Здесь "
" означает абсолютную
величину числа).
Теперь из (13)
