§4. Будова атомного ядра. Радіоактивність. Основні формули

Ядро позначається тим же символом, що і нейтральний атом: , де Х – символ хімічного елемента, Z – атомний номер (число протонів у ядрі), А – масове число (число нуклонів у ядрі). Число ней­тронів N у ядрі дорівнює різниці А–Z.

Закон радіоактивного розпаду:

, (6.12)

де N – число атомів, які не розпались у момент часу t, N₀ – чи­сло атомів, які не розпались у момент часу, взятий за початковий (при t = 0), е – основа натурального логарифму,  – постійна розпаду. Період напіврозпаду:

. (6.13)

Число атомів, що розпались за час t:

. (6.14)

Середній час життя  радіоактивного ядра:

. (6.15)

Активність А ізотопу в радіоактивному джерелі:

. (6.16)

Активність ізотопу в початковий момент часу:

. (6.17)

Методичні вказівки

При розв'язуванні задач на закон радіоактивного розпаду ізольованої речовини слід розрізняти два випадки:

1) з умови задачі очевидно, що час розпаду сумірний з пе­ріодом напіврозпаду ізотопу. В цьому випадку слід користуватись співвідношенням закону в формі (6.12) (інтегральній);

2) з умови задачі випливає, що час розпаду t набагато мен­ший ніж період напіврозпаду T даного радіоізотопу (t << T), тоді кількість ядер N, що не розпалися, можна вважати практично по­стійною протягом всього часу t і рівною їх початковій кіль­кості N₀ . Кількість ядер N, що розпалися, можна визначати за формулою

. (6.18)

В деяких задачах вимагається знайти число атомів N, що містять­ся в даній масі m певного радіоізотопу Х. Для цього користуються співвідношенням

, (6.19)

де N_А – постійна Авогадро,  – число молів, які містяться в дано­му препараті,  – молярна маса ізотопу.

Нагадаємо, що між молярною масою  ізотопу і його віднос­ною атомною масою М_r існує співвідношення:

 = 10^–3 М_r кг/моль.

Слід мати на увазі, що для будь-якого ізотопу величина М_r є числом близьким до його масового числа А, тобто

 = 10^–3 A кг/моль.

Приклади розв’язування задач

Задача 13. Знаючи постійну розпаду  ядра, визначити імо­вірність Р того, що ядро розпадеться за проміжок часу від 0 до t.

Розв'язання

З’ясуємо, що потрібно розуміти під шуканою імо­вірністю Р. Процес радіоактивного розпаду має статистичний ха­рактер: при багатократних дослідах за проміжок часу від 0 до t розпадеться щоразу одна і та ж частина ядер , яка характе­ризує відносну частоту події розпаду ядер і приймається за імовірність Р розпаду ядра впродовж даного проміжку часу. Отже,

,

де N – число ядер, які не розпалися до моменту t. Підставивши в цю рівність замість N його значення за законом радіоактивного розпаду

,

одержимо

.

Задача 14. Визначити скільки ядер радіоізотопу церію розпадається впродовж проміжків часу: 1) t₁ = 1 c; 2) t₂ = 1 рік в препараті масою m₀ = 1,0 мг. Період напіврозпаду церію Т = 285 діб.

Розв'язання

Використаємо закон радіоактивного розпаду.

1) t₁ = 1 c, тобто t₁ << T і можна вважати, що впродовж всього проміжку часу t₁ кількість ядер, що не розпались, залишається практично постійною і рівною їх початковому числу N₀. У цьому випадку для знаходження кількості N ядер, що розпались, застосуємо закон радіоактивного розпаду в формі

,

або, враховуючи, що

,

одержимо

.

Для обчислення початкової кількості ядер N₀, визначимо кіль­кість молів  церію, що містяться в даному препараті, і помножимо його на число Авогадро N_A :

, (1)

де m₀ – початкова маса препарату,  – молярна маса ізотопу церію, чисельно рівна його масовому числу. З врахуванням попереднього співвідношення (1)

.

Обчисливши, одержимо

N = 1,210¹¹ .

2) t₂ = 1 рік; тут величини t₂ i одного порядку і ди­ференціальна форма закону радіоактивного розпаду в цьому випадку не може бути застосована. Потрібно скористатися інтегральною формою закону:

,

або, враховуючи, що і співвідношення (1), одержимо

.

Оскільки 2, то рівняння набуде вигляду

= 2,510¹⁸ .

Задача 15. Визначити початкову активність А₀ радіоактивного магнію масою m = 0,2 мкг, а також його активність А через проміжок часу t = 1 година. Припускається, що всі атоми ізотопу радіоактивні.