Розв'язання

Згідно з гіпотезою де Бройля, довжина хвилі , що відповідає частинці масою m, яка рухається зі швидкістю v, виражається формулою

е a Ltg x

e

(1)

Оскільки дифракція є наслідком хвильової природи частинок, то при розв'язуванні задачі використовуємо (згідно з умовою задачі) умови максимуму на одній щілині.

, (2)

де k = 0,1,2,3,... – порядковий номер максимумів, a – ширина щілини.

Для максимумів першого порядку (k = 1) кут , звісно, ма­лий, тому sin  = , і, отже, формула (2) набуде вигляду

, (3)

а шукана величина x, як випливає з малюнка, дорівнює:

x = 2L tg = 2L , (4)

Підставивши значення  з (3) в (4), одержимо:

.

З останнього рівняння одержимо чи­сельне значення x, використавши формулу (1) для довжини хвилі де Бройля:

= 610^–5 мкм.

Задача 11. На грань кристалу нікелю падає паралельний пучок електронів. Кристал повертають так, що кут ковзання  змінюєть­ся. Коли цей кут стає рівним 64, спостерігається максимальне відбивання електронів, що відповідає дифракційному максимуму пер­шого порядку. Вважаючи відстань d між атомними площинами крис­талу рівною 200 пм, визначити довжину хвилі де Бройля  електро­нів і їх швидкість v.

Розв'язання

До розрахунку дифракції електронів від кристаліч­ної гратки застосовується рівняння Вульфа–Бреггів:

2d sin  = k,

де d – відстань між атомними площинами кристалу,  – кут ков­зання, k – порядковий номер дифракційного максимуму,  – довжина хвилі де Бройля.

Очевидно, що

 = (2d sin )/k.

Підставивши в цю формулу значення величин, одержимо:

 = 360 пм.

З формули де Бройля ( ) знайдемо швидкість елек­трона:

величина якої v = 210⁶ м/с.

Задача 12. Кінетична енергія Т електрона в атомі водню за порядком величини становить 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.

Розв'язання

Невизначеність координати й імпульсу електрона пов'язані співвідношенням:

x p  ħ, (1)

де x – невизначеність координати електрона; p – невизначеність його імпульсу.

Зі співвідношення випливає, що чим точніше визначається поло­ження частинки в просторі, тим більш невизначеним стає імпульс, а, отже, й енергія частинки. Нехай атом має лінійні розміри l, тоді електрон атома буде знаходитись десь в межах цієї області з неви­значеністю x = l/2. Співвідношення невизначеностей (1) можна за­писати в цьому випадку у вигляді (l/2)p  ħ, звідки

(2)

Невизначеність імпульсу p не повинна перевищувати значення самого імпульсу p, тобто p  p .

Імпульс пов'язаний з кінетичною енергією т співвідношенням . Замінимо р значенням (така заміна не збіль­шить l). Переходячи від нерівності (2) до рівності, одержимо:

.

Підставивши числові значення і обчисливши, одержимо:

l = 124 пм.

ФІЗИКА АТОМНОГО ЯДРА