- •Задача № 1-4
- •1. Найдем комплексные амплитуды составляющих вектора .
- •2. Определим диапопзон частот в котором – действительное число, т.Е. Рассматриваемое поле – бегущая волна.
- •3. Запишем выражения для мгновенных значений составляющих векторов поля и для двух случаев:
- •6. Найдем комплексные амплитуды поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы.
- •7. Вычислим средние за период значения объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей.
- •9. Запишем выражения для мгновенных значений плотностей активного и реактивного потоков энергии для двух случаев, указанных в п. 8.
- •10. Вычислим средний за период поток энергии через поперечное сечение волновода.
- •11. Определим фазовую скорость Vф и скорость распространения энергии Vэ рассматриваемой волны. Рассчитаем и построим графики зависимостей Vф и Vэ от частоты.
- •12. Считая, что стенки трубы выполнены из реального металла имеющего Сим/м, на основе граничных условий Леонтовича-Щукина определим коэффициент затухания для заданной волны.
- •13. Рассчитаем и построим график зависимоти коэффициента затухания волны в волноводе от частоты.
Федеральное агентство связи
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра технической электродинамики и антенн
Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе
Проверил: доцент кафедры Выполнил: студент группы РС технической электродинамики и . антенн Муравцов А.Д.
Москва 2008
Задача № 1-4
В полой трубе прямоугольного сечения (см. рис. 1) создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютны диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора равна:
, где
, ,
, , , - частота электромагниных колебаний; - длина волны, распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами и ; - скорость света в этой среде, .
Исходные данные:
№ вар |
В/м |
|
|
a см |
b см |
|
ГГц |
ГГц |
2 |
100 |
2 |
1 |
5 |
3 |
0,75 |
6 |
2,5 |
Рис.1
1. Найдем комплексные амплитуды составляющих вектора .
Запишем выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора
(1)
(2)
(3)
Воспользуемся вторым уравнением Максвелла в комплексной форме:
(4)
Найдем
Тогда составляющие комплексной амплитуды вектора равны соответственно:
Найдем выражения для частных производных составляющих комлекной амлитуды вектора по соответствующим координатам:
, так как продольная составляющая вектора отсутствует.
Подставим полученные выражения в выражения для составляющих вектора , полученные ранее:
(5)
(6)
(7)
Упростив варыжения (5), (6), (7), получим итоговые выражения для коплексных амплитуд составляющих вектора
(8)
(9)
(10)
2. Определим диапопзон частот в котором – действительное число, т.Е. Рассматриваемое поле – бегущая волна.
По условию задачи . Значит, будет действительным в случае, если
, т.е. при см.
Этому диапозону длин волн соответствует диапозон частот:
, где Гц
Если частота волны не принадлежит рассчитанному диапозону частот, то является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: , для учета того факта, при этом ,
3. Запишем выражения для мгновенных значений составляющих векторов поля и для двух случаев:
а) когда принадлежит найденному в п. 2 диапозону частот,
б) когда не принадлежит этому диапозону.
Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо домножить их комплексные амплитуды на выражение и, выделить действительную часть.
В первом случае выражения для комплексных амлитуд составляющих используются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в пункте 2.
Тогда для случая а) получим выражения:
а для случая б) выражения будут иметь вид:
4. Построим графики амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z0 от координаты x при y=0,25b в интервале и от коожинаты y при x=0,75a в интервале , а также зависимоcти тех же составляющих от координаты z вдоль линии x=0,25a; y=0,25b в интервале на частотах и (см. исходные данные).
Для наглядности построений вычислим соответствующие постоянные множители в выражениях для амплитуд составляющих веторов поля для каждого вида зависимости в отдельности. Для этого подставим соответствующие значения постоянных величин в данные выражения:
z=z0; y=0,25b; ;
, В/м
, В/м
, В/м
, А/м
, А/м
, А/м
z=z0; y=0,25b; ;
, В/м
, В/м
, В/м
, А/м
, А/м
, А/м
z=z0; x=0,75a; ;
, В/м
, В/м
, В/м
, А/м
, А/м
, А/м
z=z0; x=0,75a; ;
, В/м
, В/м
, В/м
, А/м
, А/м
, А/м
x=0,25a; y=0,25b; ;
, В/м
, В/м
, В/м
, А/м
, А/м
, А/м
x=0,25a; y=0,25b; ;
, В/м
, В/м
, В/м
, А/м
, А/м
, А/м
В выражениях пп. 1, 3, 5 м, рад/с, z0=0.036 м, , а в пп. 2, 4, 6 м, рад/с, z0=0.044 м и Нп/м.
Зависимости, рассчитанные в данном пункте работы, были запрограммированы в математическом пакете MathCad 13, где был проведен поточечный расчет и построение соответствующих графиков, приведенных на рис. 2-13.
рис. 2 рис. 3
рис. 4 рис. 5
рис. 6 рис. 7
рис. 8 рис. 9
рис. 10 рис. 11
рис. 12 рис. 13
5. Проверим выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора и нормальных составляющих вектора на боковой (х=а) и нижней (у=0) стенке трубы.
Проверка граничных условий заключается в проверке истинности утверждений и , т.е. равенста нулю касательной вектора и нормальной вектора проекций (составляющих).
На боковой стенке (х=а) рассмотрению подлежат следующие составляющие:
,
Подставим в эти выражения х=а, получим:
,
при этом другие множители от координаты х не зависят.
Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.
На нижней стенке волновода (y=0) рассмотрим:
,
При подстановке у=0 в эти выражения получим:
Заметим, что на двух оставшихся стенках волновода соответствующие рассмотренные составляющие также обращаются в ноль, так противоположные стенки волновода праллельны.