40

2. Тензоры над трехмерным евклидовым пространством

2.1. Тензоры второго ранга

К понятию простейшего тензора — тензора второго ранга — мы подойдем конструктивно.

1. Для этого рассмотрим векторные функции (операторы) , действующие из в и линейные, т.е. и .

2. Простейшим примером линейного оператора является всестороннее растяжение пространства

(2.1.1)

и, в частности, при , тождественное преобразование, другой пример дает функция

. (2.1.2)

В качестве еще одного примера рассмотрим обратимое линейное отображение вектора

на вектор

(2.1.3)

с теми же компонентами в другом базисе.

3. Линейный оператор можно представить в виде

. (2.1.4)

Например, оператор всестороннего растяжения (2.1.1) с помощью соотношений Гиббса можно записать в виде

или (2.1.4) с

.

При мы получаем тождественное преобразование, записываемое с помощью

. (2.1.5)

Отображение (2.1.2) записывается с использованием всегда выполнимого представления вектора и тождества (1.31) как

или в виде (2.1.4) с

.

Обратимое линейное отображение (2.1.3) с помощью соотношений Гиббса можно записать в явном виде

,

представимом как (2.1.4) с

.

4. Итак, скалярное умножение вектора-аргумента справа на символический объект однозначно задает произвольный линейный оператор. С помощью представления (2.1.4) легко показать, что множество линейных операторов образует векторное пространство. Действительно, линейные операции с операторами, вводимые правилами , , замкнуты, поскольку есть вектор ; другие аксиомы векторного пространства проверяются элементарно.

Линейное пространство линейных операторов обладает специфической структурой, обусловленной наличием в нем еще одной бинарной алгебраической операцией — умножением, в качестве которого выступает операция последовательного применения линейных операторов, определяемая правилом . Действительно, есть вектор . Тождественное преобразование является единицей в этом множестве и мы можем написать .

5. Обратимся теперь к вопросу представления объекта , задающего линейный оператор. Из примеров п.2 видно, что устроен с помощью линейных операций сложения и умножения на скаляр и некой бинарной операции умножения векторов, для упорядоченной их пары обозначаемой и называемой диадным умножением. Диадное умножение линейно по обоим своим аргументам: , , что следует из , . Диадное умножение некоммутативно, т.е. , поскольку . Диадное умножение векторов называют диадой, а линейнную комбинацию диад — диадиком или тензором второго ранга. Таким образом, линейный оператор в общем случае представляется в виде диадика (тензора второго ранга)

(2.1.6)

6. Любой тензор второго ранга можно представить в виде суммы трех диад. С использованием (2.1.5)

, (2.1.7)

где , — произвольная некомпланарная тройка векторов, а — тройка сопряженных к ним векторов. Представление (2.1.7) не зависит от выбора исходной некомпланарной тройки векторов (базиса), потому что представление (2.1.5) от него не зависит.

Если векторы линейно независимы, то трехчленное представление (2.1.7) неприводимо.

В случае компланарности векторов сумма в (2.1.7) может быть приведена к двучленной. Пусть, например, , тогда тензор принимает вид

. (2.1.8)

Дальнейшее приведение возможно, если и коллинеарны, т.е. . В этом случае тензор сводится к диаде

. (2.1.9)

В любом случае представление такое не единственно.

7. Легко увидеть, что отображение (2.1.4) с трехчленным неприводимым представлением тензора (2.1.7) осуществляет отображение на все пространство (такое отображение называется обратимым, а соответствующий тензор невырожденным), данное отображение с двучленным неприводимым представлением (2.1.8) осуществляет отображение на некоторое двумерное подпространство , а отображение с одночленным неприводимым представлением (2.1.9) осуществляет отображение на некоторое одномерное подпространство .

Если для некоторых векторов будет , то и для любой их линейной комбинации, очевидно, . Поэтому подмножество , состоящее из всех прообразов нулевого вектора , также является подпространством пространства и называется ядром линейного оператора (2.1.4). Очевидно . Число называется рангом линейного оператора, а — его дефектом, сумма дефекта и ранга линейного отображения равна трем. Равенство нулю дефекта T равносильно невырожденности этого тензора, если дефект T равен единице, то этот тензор называют однократно вырожденным, если двум — двукратно вырожденным. Наконец, если дефект T равен трем, т.е. , то T = 0.

Для обратимого линейного отображения, осуществляемого невырожденным тензором T, существует обратное линейное отображение, осуществляемое обратным тензором . Легко показать (рекомендуется это сделать), что такой тензор однозначно связан с исходным тензором соотношением

. (2.1.10)

Покажите наиболее простым способом, что диада есть двухкратно вырожденный, а симметризованная диада — однократно вырожденный тензор.

8. Если разложить каждый из векторов в представлении тензора (2.1.6) по базису , и использовать линейность диадного умножения, тензор записывается в виде

, (2.1.12)

— разложения по системе девяти диад . Нетрудно показать их линейную независимость (рекомендуется сделать), поэтому пространство тензоров девятимерно. Числа называются дважды контравариантными компонентами тензора . Эти компоненты образуют матрицу:

.

Разлагая каждый из векторов в (2.1.6) по базису , мы получим разложение с помощью дважды ковариантных компонент тензора , а выбирая для разложения пары сопряженные базисы, , — смешанные компоненты тензора . Четыре матрицы , , , компонент разложения тензора по базисам , , , , конечно, не равны.

9. Из формул преобразования основного или взаимного базисов следует закон преобразования диадного базиса. Например, для базиса из (1.2.2), (1.3.11) с учетом билинейности диадного произведения следует

. (2.1.13)

Поскольку T с равным правом разлагается по старому и новому базисам,

, (2.1.14)

из последнего равенства и (2.1.13) с использованием линейной независимости диад получаем

.

Отсюда становится понятной структура формул преобразования компонент произвольных разложений тензора второго ранга:

(2.1.15)

10. Понятие тензора второго ранга оказывается более общим, чем понятие линейного оператора. Можно сказать, что линейный оператор есть одна из “профессий” тензора, с помощью которой мы к нему конструктивно подошли. Другой “профессией” тензора является билинейная форма, когда он выступает в качестве линейной по каждому из двух векторных аргументов скалярозначной функции:

. (2.1.11)

Основные факты об алгебраической структуре множества тензоров второго ранга и их представлениях, установленные нами выше с использованием частной “профессии” тензора как линейного оператора, универсальны. Сказанное в п.7, однако, не справедливо по отношению к отображению (2.1.13), структура прообразов нуля у которого иная. 12. Резюме. Итак, диадное умножение есть билинейное отображение пары векторов из трехмерного векторного пространства в вектор некоторого -мерного векторного пространства, называемого тензорным пространством. Тензорное пространство является натянутым на диады; кроме них в нем содержатся их всевозможные линейные комбинации, которые и называются тензорами (второго ранга). Тензор второго ранга в общем случае не сводится к диаде, а сводится к линейной комбинации трех диад. Пространство тензоров есть векторное пространство, обладающее специфической структурой.