5. Интегральное исчисление:
Основные понятия и свойства:
Определение1:Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство F΄(x) = f(x).
Определение 2:Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом: ∫ f(x) dx, где f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение,
x – переменная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла :
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ∫ f(x) dx)΄ = f(x).
2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е. ∫ mf(x) dx = m ∫ f(x) dx.
3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. ∫(f(x) ± φ(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫φ(x) dx.
4. ∫ f (kx + b) dx = 1/k F(kx +d) +C
Определение 3: Если F(x) + C – первообразная функция для f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x = a до x = b называется
b
определенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x) dx, т.е.
b a
∫ f(x) dx = F(b) – F(a)
a
где a – нижний предел, а b – верхний предел определенного интеграла.
b b
∫ f(x) dx = F(x)│= F(b) – F(a) формула Ньютона – Лейбница.
a a
Основные формулы интегрирования:
n n+1
1. ∫ х dx = (x ) / (n +1) + C при n ≠ -1
х x
2. ∫ е dx = e + C
x x
3. ∫ a dx = a / ln a + C
4. ∫ (dx) / х = ln |x| + C
5. ∫ cos x dx = sin x + C
6. ∫ sin x dx = - cos x + C
Определение 4: дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или ее дифференциалы.
Определение 5: Уравнение вида f(x)dx + φ(x) = 0 называется уравнением с разделенными переменными.
-17-
Определение 6: Уравнение вида f(x)F(x) + φ(x)Ф(х) = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.
2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
3. Разделяют переменные.
4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
5. если заданы начальные условия, то находят частное решение.
Определение 7: Уравнение вида у' + ру = q , где р и q – функции переменной х или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли:
1. Приводят уравнение к виду у' + ру = q.
2. Используя подстановку у = uv, находят у' = u'v + v'u и подставляют эти выражения в уравнение.
3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций v или u за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.
5. записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций v и u в равенство у = uv.
6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.
ЗАДАЧИ:
1. Вычислите неопределенный интеграл, применяя формулы интегрирования:
а) ∫(х3 + 1) / х dx б) ∫(x2 + x + 5) / 2x dx
в) ∫ (x5 + 3ex)dx г) ∫ (x3 + 2x) dx
д) ∫е3х dx е) ∫ (2/х + 8ех +5х – х-3/5)dx
ж) ∫sin3x dx з) ∫cos (5 – 2x)dx
2. Выполните интегрирование способом подстановки (заменой переменной)
а) ∫ sin x cos x dx б) ∫ sin2x cos x dx
в) ∫ cos 3x dx г) ∫ tg x dx
д) ∫ (2х +3)4dx е) ∫ (9 – 2х3)4 х2 dx
3. Вычислите интеграл способом интегрирования по частям:
а) ∫ х cos x dx в) ∫ х е2х dx
б) ∫ х sin x dx
4. Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями:
а) у = -х2 + 4 , у = 0 ;
б) у = 1/х , у = 0, х = 1, х = 3;
-18-
в) ху = 6, х + у – 7 = 0
5. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными:
а) уdу + хdх = 0; б) 2уdу = 3х2dх;
в) dу/у = dх /(х – 1); г) ехdх = уdу.
6. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (найти общее решение):
а) у' = ху2;
б) х 2dу + у 2dх = 0
в) (1 + х2)dу -2хуdх = 0;
г) 1 + у' + у + ху' = 0
д) хdу + 2уdх = 0;
е) у' – у – 1 = 0.
7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли:
а) у' – (3/х) у = х;
б) у' + у tgх = cos2х;
в) у' + 2у/х = х2, х≠0.
-19-