4. Дифференциальное исчисление.

Основные понятия и свойства:

Определение 1.(Алгебраический смысл производной).

Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения приращения функции Δу к соответствующему приращению аргумента Δх при условии, что приращение аргумента стремится к 0, т.е.

у΄ = f ΄(x) = lim Δy /Δx .

Δx → 0

Геометрический смысл производной:

Значение производной функции y = f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке х, т.е.

k = f ΄(x) = tg φ, где φ – угол наклона касательной.

Физический смысл производной:

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Определение 2: Нормалью называется прямая, проходящая перпендикулярно касательной в ее точке касания.

Уравнение касательной: y – y0 = y' (x0)(x – x0).

Уравнение нормали: y – y0 = -1/ y'(x0) * (x – x0).

Правила дифференцирования:

1) С' = 0 4) (Cu)' = C u', С - постоянная

2) (х)' = 1 5) (uv)' = u'v + v 'u

3) (u + v - w)' = u' + v ' – w ' 6) (u/v)' = ( u'v – v 'u) / v²

7) y(g(x)) = y'(g)×g'(x)

Производные основных элементарных функций:

n n – 1

1) ( x) = n (x) , 7) (sin x)' = cos x ,

2) ( √ x )' = 1/2√x , 8) (cos x)' = - sin x,

x x

3) ( a )' = a × ln a , 9) (tg x)' = 1/ cos² x,

x x

4 ) ( e )' = e , 10) (ctg x)'= - 1/ sin² x.

5) ( ln x)' = 1/x ,

6) ( log a x)' = 1 / (x lna) ,

Треугольник Паскаля:

1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

-14-

Теорема1 (Правило Лопиталя): Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы вблизи а, непрерывны в точке а, g' (a) ≠ 0 и f(a) = g(a) = 0 (или = ∞), то предел отношения функции f(x) к функции g(x) в точке а равен пределу отношения их производных в этой точке, т.е.

lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g'(x) .

x → a x → a

Определение 3: Точка хо называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство

f(x) < f(xo) ( f(x) > f(xo) ).

Теорема 2 (необходимый признак экстремума): Если хо является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то оно равна нулю: f '(xo) = 0/

Теорема 3 ( признак экстремума (через производные высших порядков)): Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки хо n раз непрерывно дифференцируема и пусть первая, вторая… (n-1) производная функции в этой точке равны нулю, а n-я производная функции в этой точке отлична от нуля. Если n – нечетно (нечетный порядок производной), то точка хо не является точкой экстремума. Если n – четно, то хо – точка экстремума, при чем: если производная принимает положительное значение, то хо – точка минимума, если отрицательное, то точка максимума.

Определение 4: Пусть в точке хо кривая y = f(x) имеет касательную, не параллельную оси Оу (т.е. функция дифференцируема в этой точке). Кривая называется выпуклой в точке хо, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведенной в точке хо. Кривая называется вогнутой, если соответственно расположена выше касательной.

Теорема 4 (признак вогнутости и выпуклости): Если вторая производная функции y = f(x) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна, то кривая выпукла в этом промежутке.

Определение 5: Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Уравнения асимптот:

х = а – вертикальной асимптоты

y = b – горизонтальной асимптоты

y = kx + b, где k = lim f(x)/x , b = lim (f(x) – kx) - наклонной асимптоты.

х→∞ х→∞

-15-

ЗАДАЧИ:

1. Найти 1-ю производную следующих функций:

а) у = (3 – х)/x²; и) y = x²sinx;

б) у = 4/x² - 1/x³ + 4x – 6; к) y = x²(5 - 4x + x³);

в) у = (9 - х²)³; л) y = ln²sin4x;

г) y = 2sin 5x; м) y = (cos3x – 2)³;

5x

д) y = sin²3x; н) y = 4 e - 3/x³ + 1;

е) y = log 5 x; 3x

ж) y = ln x³; o) y = 2 + 5.

2. В какой точке нормаль к кривой у = х² - 1 образует с осью Ох угол 45°?

3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = 2х³ - 4х в точке (1; -2).

4. Найти угол под которым касательная и нормаль, проведенные к графику функции y = f(x) в точке хо пересекают ось Ох, если:

а) y = √x +5x, xo = 4; б) y = sin 3x – 2x, xo = 0.

Составьте уравнения прямых.

5. Найти угол наклона нормали, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x:

2x

а) y = -x³ + 4, x = 1; б) y = lnx -2x, x = ½; в) y = e +x, x =0.

6. Под каким углом парабола y = x²/2 пересекается с прямой 3х – 2у – 2 = 0?

7. Найти производную функций 3-го порядка:

2x x -x

а) y = e ; в) y = ln x; д) y = e × cos x; ж) y = 2 / x;

б) у = sin²x; г) y = cos 5x; е) y = x lnx; з) y = x² lnx.

8. Найти производную 4-го порядка:

а) y = x³/ (2-x); б) y = sin x × ln x; в) y = x² cos x.

9. Вычислить пределы:

а) lim (sin 7x / tg x); в) lim 4ⁿ / (2n); д) lim ( 2ⁿ -4) / (n -2);

x → 0 n → ∞ n → 2

б) lim (ln x / x); г) lim (ln n + n²) / e²ⁿ; е) lim n /( eⁿ - 1).

x → ∞ n → ∞ n → 0

10. Исследовать функции на экстремум с помощью производных высших порядков:

4 2 2 4 -х

а) у= х - 8х ; г) у = 2х - х ; ж) у = х²е ;

б) у = 2х³ + 6х² - 18х + 120; д) у = (4х)/(1 + х²); з) у = lnx/х ;

4 4 3 х

в) у = (3х + 1)/х³; е) у = 3х - 4х ; и) у = х е .

11. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость:

а) у = х³ - 3х² + 1; в) у = х³ - 3х² - 9х + 11; д) у = (х – 1)³; ж) у = (х² +4)/х.

4 2 8

б) у = - х³ + 3х²; г) у = х - х ; е) у = (2 – х);

12.Исследовать функции и построить их графики:

а) у = х³ -12х + 4; в) у = 1/3х³ - 2х²; д) у = х/(9 + х²);

б) у = 2х³ - 6х; г) у = 1/(1+х²); е) у = ln(х² +1).

-16-