3. Теория пределов.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1,2,3,…,п,… поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел х1, х2 … хn, … называется числовой последовательностью.

Определение 2: Число а называется пределом числовой последовательности yn, если для любого положительного числа э найдется такое натуральное число N(номер члена последовательности), что при всех последующих номеров п выполняется неравенство: | y_n – a |< э.

Lim (Yn) = a

Определение 3: Последовательность (Хп) называется ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что каждый член последовательности принимает значения не меньшие m и не большие M. Если существует лишь одно из этих чисел, то последовательность ограничена либо сверху (существует только M), либо снизу (существует только m).

Определение 4: Последовательность (Хп) называется бесконечно большой, если для любого положительного числа э (сколь большим бы мы его ни взяли) cуществует номер N такой, сто при всех n > N выполняется неравенство: |Хп| > э.

Lim (Xn) = 00

Определение 5: Последовательность (Уп) называется бесконечно малой, если для любого положительного числа э (сколь угодно малого) существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство: |Уn| < э.

Lim (Yn) = 0

Основные свойства пределов:

1) lim (X + Y + Z) = limX + limy = limZ

2) lim (XYZ) = limX * limY * limZ

3) lim (X/Y) = (lim X)/(limy)

4) lim (cX) = c limX (с – постоянный множитель)

n n

5) lim (X ) = (limX)

Определение 6: Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х, взятому из области определения, ставится в соответствие по определенному правилу единственное значение у.

Определение 7: Число b называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а, если для любого э > 0 найдется такое б > 0, что для всех х , удовлетворяющих условию | x – a| < б выполняется неравенство |f(x) – b| < э.

Lim f(x) = b

x a

( т.е. число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех х,

-10-

достаточно близких к а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от b.

Определение 8: Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности , если для любого э >0, найдется число М > 0, что для всех |x| > M выполняется неравенство | A – f(x)| < э.

Lim f(x) = A

X 00

(т.е. число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности

( или при х, стремящемся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от А.)

Свойства бесконечно малых (0) и бесконечно больших (оо) величин:

0 + 0 = 0 оо + оо = оо неопреднленности:

с + 0 = с оо + с = оо 0×оо

0 × 0 = 0 оо + 0 = оо 0/оо

с × 0 = 0 оо × оо = оо оо/0

0/с = 0 оо × с = оо оо/оо

с/0 = оо оо/с = оо 0/0

с/оо = 0

Замечательные пределы:

1) lim (sinx)/х = 1 2) lim (1 + 1/x)^x = е

х 0 x oo

оо, если степень P(x) больше степени Q(x)

3) lim P(x)/Q(x) = 0, если степень P(x) меньше степени Q(x)

c1/с2, если степень P(x) равна степени Q(x)

P(x) и Q(x) – многочлены, с1, с2 – коэффициенты при одночленах с большей степенью.

Определение 9: Функция f(x) называется непрерывной в данной точке а, если ее предел в точке а существует и равен значению функции в этой точке, т.е. если

Lim f(x) = f(x)

x a

Достаточное условие непрерывности функции в точке:

Функция непрерывна в точке а, если ее предел слева равен пределу справа в этой точке, т.е. lim f(x) = lim f(x).

х а – 0 х а + 0

Определение 10: х0 называется точкой разрыва 1-го рода, если функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа в этой точке. Во всех остальных случаях х0 – точка разрыва 2-го рода.

-11-

ЗАДАЧИ:

1. Найти пределы:

а) lim (x² – 7x +4) ; б) lim (x² + x + 2) / (x² + x + 1); в) lim x + 5 ,

x 0 x 1 x -5

г) lim 5 / (х -1); д) lim (x² + 3) / 7 ; е) lim 12 / ( 5 – х)

х 1 х оо х оо

ж) lim (x² + x) / 23; з) lim (x³ + 1) / (х – 2) ; и) lim (x + 6) / х

x oo х 2 х -6

2. Вычислить пределы:

а) lim (x² – 6x + 9) / (x² – 3x); г) lim ( x – 1 - 2) / (x – 5)

x 3 x 5

б) lim (x² – 5x + 6) / (х – 2); д)lim ( x + 2 - 1) / (x + 1)

х 2 x -1

в ) lim (x² + 2x) / (х² – 4); е) lim x + 1 - x

х -2 x oo

3. Найти пределы:

а) lim (x⁴ – 3) / (x² + 5x); ж) lim (5x³ + x – 1) / (2x³ + 5x²);

x oo x oo

б) lim (2x³ – x + 5) / (3x³ + 7x + 1); з) lim ( x² + 4 ) / x;

x oo x oo

в) lim (x³ + 3x) / (6 + x – x⁷); и) lim ( x² – 2x⁴ ) / x²;

x oo x oo

г) lim (x⁴ – 2x⁷) / (x⁷ – 3x⁵); к) lim (5x + cos x) / x ;

x oo x oo

д) lim (x² + 8x – 1) / (x⁵ + 7x³ + 11); л) lim (cos 2x – 6x) / (2x + 5);

x oo x oo

e) lim (4x³ + x² – 2) / (3x² + 5x – 2); м) lim (x² – cos 2x) / (4 – x²).

x oo x oo

4.Найти пределы:

a) lim (sin 2x) / x ; г) lim (sin 5x) / 3x ;

x 0 x 0

б) lim (sin x) / (3x) ; д) lim ( sin 3x) / (sin 7x);

x 0 x 0

в) lim (sin 17x) / 8x е) lim (tg 2x) / x .

x 0 x 0

- 12-

5. Вычислите пределы:

x 2x

а) lim (x / (x + 1)) ; г) lim ((x + 2) / x) ;

x→ ∞ x → ∞

x 3x

б) lim ( 1 + 5/x ) ; д) lim (1 + 2/(3x) ) ;

x→ ∞ x → ∞

3x 5x²

в) lim ( 1 + 2/x ) ; е) lim ( (x³ - 2x )/ x³ ) .

x → ∞ x → ∞

6. Исследовать функцию на непрерывность:

а) y = (x + 2) / (x – 3); е) y = x + 1, при х ≥ 2

х – 1, при x < 2.

б) y = lnx / (x - 5);

ж) y = 2 – x , при х < 1

г) y = x / (x + 1); lg x , при x ≥ 1.

x

д) y = √ x – 2 / ( x + 7); з) y = (1/2) , при х ≤ -1

2 , при x > -1

и) y = 5 - x² , при х ≥ 1

х + 3, при х < 1

к) y = 1/x , при x ≥ -1

x ² , при x< -1

л) y = 2/x + 1, при x ≥ 2

x³ - 6, при x < 2

м) y = x / (x² - 1) , при x < 2

lg ( x – 1) , при x ≥ 2

-13-