5. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу ( ), т.е. - осуществление одного из . Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А. Следующая теорема дает ответ, как найти вероятность события А.

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Пример:

6. Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности

(*)

Здесь содержатся вероятности - полученные до опыта по наступлению события А.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются и обозначаются .Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности . Из формулы (*) выразим:

Полученные формулы называют формулами Байеса (англ.математик). Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез, принятых до опыта (и называемых априорными, «a priori», доопытные, лат.) после того, как становится известным результат проведенного опыта, в итоге которого появилось событие А, т.е. найти условные вероятности , которые называют апостериорными («а posteriori», послеопытные).