Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
Основные теоретические сведения.
Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности: найти функцию и(х, t), удовлетворяющую уравнению
, (3.1)
начальному условию u(x.0) = f(x) (0 < x < s) (3.2)
и краевым условиям u(0.t) = (t) ; u(s.t) = (t). (3.3)
Построим на полуполосе t 0, 0 ≤ х ≤ s, рис. 3.1, два семейства параллельных прямых:
х = ih (i = 0, 1, 2,...), t = j l (j = 0, 1, 2, ...).
Рис. 3.1
Обозначим хi = ih ; tj = j l, тогда можем записать
( 3.4)
, (3.5)
. (3.6)
На основании соотношений (3.5) и (3.6) для уравнения (3.1) получим два типа конечно-разностных уравнения
= (3.7)
(3.8)
Рис.3.2 Рис.3.3
Уравнение (3.7) соответствует явному двухслойному шаблону рис.3.2, а уравнение (3.8) соответствует неявному двухслойному шаблону рис.3.3.
Введём обозначение = l / h2 , учитывая это уравнения (3.7) и (3.8) можно привести к виду
(3.9)
(3.10)
При выборе числа в уравнениях (3.9), (3.10) следует учитывать два обстоятельства:
1) погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;
2) разностное уравнение должно быть устойчивым.
Доказано, что уравнение (3.9) будет устойчивым при 0 < ≤ 1/2, а уравнение (3.10) — при любом .
Методом сеток можно решать смешанную краевую задачу для неоднородного параболического уравнения
+ F(x,t) (3.11)
Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее явную схему узлов, имеет вид
+ l Fi,j (3.12)
Отсюда получаем при =1/2
(3.13)
при = 1/6
(3.14)
Пример. Используя разностное уравнение (3.13), найти приближенное решение уравнения , (3.15)
удовлетворяющее условиям и(х, 0) = sin π x (0 x 1), и(0, t ) = и(1, t ) = 0 (0 t 0,025). (3.16)
Решение.
Выберем по аргументу х шаг h = 0,1. Так как = 1/2, получаем по аргументу t шаг l = h2/2 = 0,005. Записываем в табл. 5.1 начальные и краевые значения. Учитывая их симметрию, заполняем таблицу только для x = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Значения функции и (х, t) на первом слое находим, используя значения на начальном слое и краевые условия, по формуле
(3.17)
при j = 0:
Таким образом, получаем
= 0,5 (0,5878 + 0) = 0,2939,
= (0,8090 + 0,3090) = 0,5590
и т. д.
Записываем полученные значения и i1 (i = 1, 2, 3, 4, 5) во вторую строку табл. 3.1. После этого переходим к вычислению значений на втором слое при j = 1:
.
Аналогично определяем значения и(i,j) при последующих значениях t. В двух последних строках таблицы приведены значения точного решения задачи (х, t)= e –π π tsin π x и модуля разности - u при t = 0,025.
Таблица |
3.1
|
|
|
|
|
||
j |
x t |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0 1 2 3 4 5 |
0 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 |
0 0 0 0 0 0 |
0,3090 0,2939 0,3795 0,2658 0,2528 0,2404 |
0,5878 0,5590 0,5316 0,5056 0,4808 0,4574 |
0,8090 0,7699 0,7318 0,6959 0,6619 0,6294 |
0,9511 0,9045 0,8602 0,8182 0,7780 0,7400 |
1,0000 0,9511 0,9045 0,8602 0,8182 0,7780 |
(х, t) |
0,025 |
0 |
0,2414 |
0,4593 |
0,6321 |
0,7431 |
0,7813 |
- u |
0,025 |
0 |
0,0010 |
0,0019 |
0,0027 |
0,0031 |
0,0033 |
Задача
Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа
с заданными начальными условиями
и краевыми условиями , где
Решение выполнить при по симметрической схеме
Варианты:
№ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
0.2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|