§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.
Определение.
Множество Х произвольных элементов
называется метрическим пространством,
если
ставится в соответствие число
,
удовлетворяющее следующим условиям:
;
;
– расстояние между x и y.
1-3 – аксиомы метрики.
Говорят,
что множество элементов
- метрическое пространство сходится
к
,
если
,
.
Последовательность
точек
называется сходящейся
в себе (фундаментальной),
если
.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, обратное верно не всегда.
Определение. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным.
Пример.
.
Зададим различными способами расстояния:
кубическая метрика, m-метрика
;
сферическая метрика,
метрика
;
октаэдрическая, s-метрика
.
Для
всех выполняются аксиомы метрики и в
каждой
– полное метрическое пространство.
Пусть X,Y – метрические пространства.
называется
оператором,
заданным в X
со значением в Y.
Если
X=Y,
то
– оператор, отображающий Х в себя
(преобразование).
Если
,
то
– неподвижная
точка при отображении
.
Определение.
Говорят,
что отображение
называется сжимающим
(сжатием),
если
.
§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
Пусть
требуется решить уравнение
(1),
где
– непрерывная функция.
Число
называется корнем
уравнения
(1), если
.
Если
функция
определена
и непрерывна на
и на концах отрезка принимает значения
разных знаков, то на
существует хотя бы один корень.
Отделить корень уравнения значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.
Для отделения корней можно применить следующий признак:
Если на отрезке функция непрерывна и монотонна, и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на данном отрезке существует только один корень уравнения (1).
Достаточным условием монотонности функции на отрезке является сохранение знака производной.
Отделить корень можно и графически: нарисовать график и указать точки пересечения с осью Ох.
Совершенный метод отделения корней – метод Штурма.
Дихотомия (метод деления отрезка пополам).
Пусть
существует
хотя бы один корень на
;
Рассмотрим
и
.
Из этих двух выберем тот, на концах
которого функция
принимает значения разных знаков и
поделим его пополам и т.д.
Если
нужно найти корень с точностью до
,
то мы продолжаем делить отрезок до тех
пор, пока длина отрезка не станет меньше
,
тогда середина последнего отрезка дает
значение корня с требуемой точностью.
Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится всегда для любой непрерывной функции в том числе и недифференцируемой, при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости метода дихотомии не велика, т.е. за одну итерацию точность увеличивается вдвое.
Недостатки: прежде чем применить, необходимо найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Если на этом отрезке несколько корней, то неизвестно к какому из них сходится дихотомия. Метод не применим к корням четной кратности.
Метод применим к корням нечетной кратности, но хуже устойчив к ошибкам округления. Метод не применим к системам уравнений.