33 Формальные методы принятия решений. Многокритериальная оптимизация. Многокритериальные задачи оптимизации.

Выше рассматривались однокритериальные задачи оптимизации.

Критерии качества электронной аппаратуры — точность; надёжность; помехоустойчивость; быстродействие; стоимость и др. — во многом являются противоречивыми.

Задача многокритериальной(векторной) оптимизации:

при X  G

Часто применяемая формулировка: «Добиться максимального эффекта при минимальных затратах» — не имеет смысла.

Основные методы решения многокритериальных задач:

Выбор приемлемого варианта (Принцип приемлемости);

Конструирование «обобщённого показателя» эффективности;

Оптимизация на основе безусловного критерия предпочтения (Принцип Парето);

Использование условных критериев предпочтения.

Рассмотрим подробнее основные методы векторной оптимизации.

Пусть требуется минимизировать значения критериев (F_i  min). Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: САР АД:

– погрешность регистрации температуры  0,2 %;

– вероятность отказа в течении 100 часов  0,001;

– масса эл. агрегата  2 л;

– время отработки переходных процессов  2 с.

Но эта задача сводится к отсеканию приемлемого решения X, удовлетворяющего ограничениям: X  G и F_i(X)  F_i^*, i = 1, 2, …, k.

Но:

– выбор F_i^* часто бывает необоснованным;

– решение X не является оптимальным.

Задача сводится к однокритериальной, путём построения «обобщённого показателя эффективности»:

Обычно: .

А) Пример — мощность МП:

, где Д — длина слова; П — число адресуемых слов в памяти; Б — время выполнения шага.

Б) Информационная емкость канала связи:

, где Т_к — время; F_k — частотный диапазон.

В) Л.Н. Толстой:

«Критерий для оценки человека» = (Действительные достоинства человека)/(Его мнение о себе).

Но:

– построение такого критерия не всегда возможно;

– недостаток в одном показателе качества часто нельзя компенсировать за счёт других показателей.

Безусловный критерий предпочтения (бчп) —

был сформулирован в 1904 году итальянским экономистом Вильфредо Парето.

П усть Х’=(X₁’,X₂’,…,X_n’) — 2 возможных решения

и X”=(X₁”,X₂”,…,X_n”) задачи

Тогда Х’ «лучше», чем Х”, если: F_j(X’)>=F_j(X”) для всех j=1, 2, …k;

Причем хотя бы для одного j: F_j(X’)>F_j(X”).

Но тогда X”«хуже», чем X’.

Оптимальные по Парето решения — это множество «неулучшаемых» решений.

Пример: F₂

Но:

– Оптимальное по Парето решение не является единственным (случается множество альтернатив).

– Окончательный выбор за ЛПР.

Условный критерий предпочтения (УКП)

А) Построение обобщённого (интегрального) критерия:

=f(F₁, F₂, …, F_k)  max, или = f(F₁, F₂, …, F_k)  min.

Функция полезности Функция потерь (затрат)

Пример — линейная свёртка критериев:

 — где  — весовые коэффициенты; например, ;

Но проблема весовых коэффициентов (субъективизм).

Б) Максимальный критерий.

В) Выделение главного показателя (критерия):

Пусть: F₁(X) — главный критерий качества.

Тогда: F₁(X)  max при ограничениях F₂(X)  F₂; …

F_k(X)  F_k^*.

Но:

– трудно задать

– трудно выбрать главный критерий

Г) Метод последовательных уступок:

Пусть: критерии F₁, F₂, …, F_k расположены в порядке убывания важности.

Тогда: F₁(X)  max  (F₁)max = F₁^*.

З атем: F₂(X)  max при F₁(X)  F₁^* —  F₁.

F_1 — Уступка по критерию F₁ и т. д.

Но:

- решение зависит от ранжирования критериев

– как выбирать уступки?

– окончательный выбор за ЛПР.

Одна из важных проблем метода экспериментальных оценок — ранжирование критериев