5.5. Конструювання похідних -областей

У програмуванні поруч із базовими типами даних часто використовуються похідні (структуровані) дані. Для дослідження рівнянь над похідними даними доречно розглянути побудову похідних -областей з базових областей. Найпростішим методом побудови є об’єднання областей.

Розмічене об’єднання -областей

Не втрачаючи загальності, розглянемо випадок двох областей. Нехай D1 та D2 – -області. Будемо індексувати відповідні поняття наступним чином: _D1, _D1, – для першої області, _D2, _D2, – для другої області. Нехай також D1 та D2 не перетинаються. Будуємо нову множину D = D1D2{}, де  – новий елемент, що не належить ні D1, ні D2.

На множині D вводимо частковий порядок наступним чином:

 _D = _D1 _D2 {(,)}  {(, d1) | d1 D1} {(, d2) | d2 D2}

Інакше кажучи, новий частковий порядок є об’єднанням часткових порядків на D1 та D2, і крім того елемент  визначено найменшим елементом в D.

Неважко довести, що колапсу так побудованого відношення часткового порядку не буде. Повнота D відносно порядку  _D випливає з його розміченості (множини D1 та D2 не перетинаються, тому ланцюг обов’язково складається з елементів однієї множини крім, можливо, ).

Лема 5.3. Розмічене об’єднання -областей є -областю.

Декартовий добуток -областей

Нехай D1 та D2 – -області. Побудуємо -область для D = D1D2.

Задамо частковий порядок на D покоординатно:

(d1, d2)  _D (d1, d2) (d1  _D1 d1) & (d2)  _D2 d2).

Неважко довести, що так визначене відношення є частковим порядком.

Найменшим елементом D буде елемент (_D1, _D2).

Доведемо повноту D відносно введеного відношення. Нехай {(d1_i, d2_i)}_i – ланцюг в D. З визначення часткового порядку на D випливає, що {d1_i}_i та {d2_i}_j – ланцюги відповідно в D1 та D2. З повноти цих областей випливає, що існують та . Очевидно, що пара ( , ) є мажорантою елементів ланцюга {(d1_i, d2_i)}_i. Можна показати, що ця мажоранта є найменшою. А це означає, що =( , ), тобто, що D – повна.

З наведеного доведення також випливають наступні співвідношення: = та = , де d1D1, d2D2.

Отже, доведено наступне твердження.

Лема 5.4. Декартовий добуток -областей є -областю.

Лема 5.5. Нехай D1 та D2 – -області. Тоді відображення неперервне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне за кожним аргументом.

Доведення

Необхідність. Нехай відображення неперервне на множині D =D1D2. Це означає, що для довільного ланцюга з D = D1D2 маємо, що .

Щоб довести неперервність за першим аргументом розглянемо ланцюг , у елементів якого другий компонент дорівнює . Звідси випливає, що та

.

Використовуючи ці співвідношення, отримуємо, що

.

Аналогічно доводиться неперервність і за другим аргументом.

Достатність. Треба довести, що з неперервності за кожним аргументом випливає неперервність в цілому. Беремо довільний ланцюг і користуючись властивостями супремуму на декартовому добутку та неперервністю за кожним аргументом, отримуємо наступні рівності:

. ■

Класи функцій на -областях. Доведемо, що множина тотальних (всюди визначених) функцій F=[DD] на -області є -областю.

Щоб відрізняти елементи та відношення на множинах F та D будемо вживати відповідні індекси, позначаючи частковий порядок на D як , а на F – як .

Спочатку визначимо частковий порядок на F=[DD] наступним чином.

Нехай . Тоді вважаємо, що

.

Для так введеного бінарного відношення виконуються всі аксіоми часткового порядку: рефлекcивність, транзитивність, антисиметричність.

Дійсно, оскільки , то (рефлексивність). Далі, ( ), тому (транзитивність). Нарешті, справедливе співвідношення ( ), з якого випливає (антисиметричність).

Тепер визначимо найменший елемент . Тут вираз у квадратних дужках називається функціональним конструктором. Він задає значення функції на кожному її аргументі. Це означає, що ( ). Тому для довільної функції g з F маємо, що . За визначенням, це означає, що _F g.

Далі треба продемонструвати повноту F. Нехай – ланцюг в F. Треба довести, що F, тобто, що супремум функцій є функцією.

Спочатку визначимо нову функцію . Наведений функціональний конструктор задає значення функції на кожному її аргументі. Це означає, що .

Доведемо, що (тобто що – найменша з мажорант ланцюга ).

1. Спочатку доведемо, що – мажоранта множини функцій { } . Дійсно, за визначенням f ( ). Звідси випливає, що ( ). Переставляючи універсальні квантори, отримуємо, що .

А це означає (за визначенням часткового порядку на F), що . Тобто, – мажоранта множини функцій { } .

2. Доведемо тепер, що – найменша мажоранта множини функцій { } . Нехай – довільна мажоранта цієї множини. Тоді

    .

Це означає, що доведена наступна лема.

Лема 5.6. Відображення є супремумом множини функцій { } , тобто .

З доведених властивостей випливає, що множини неперервних функцій є -областю. Отриманий результат можна посилити для випадку множини функцій на -областей D1 та D2.

Лема 5.7. Множина функцій, визначених на -областях, є -областю.

Неперервні функції на -областях. Нехай F= – клас неперервних тотальних функцій на -області D. Відношення часткового порядку на є обмеженням часткового порядку на множині функцій , оскільки клас є підкласом класу . Залишилося довести, що – неперервне відображення, і що супремум неперервних відображень є неперервним відображенням.

Доведемо неперервність відображення , тобто, що  . Це означає, що треба довести рівність для довільного ланцюга елементів з D. Дійсно, .

Лема 5.8. Якщо функції ( ) – неперервні, то функція – також неперервна.

Доведення. За лемою 5.6, якщо , то . Щоб довести, що – неперервна, треба довести, що для довільного ланцюга . Маємо, що .

За лемою 5.2 , тому

._▄

Це означає, що клас є -областю. Отриманий результат можна посилити для випадку множини неперервних функцій , заданих на -областей D1 та D2. Це дозволяє сформулювати наступний результат.

Лема 5.9. Множина неперервних функцій, заданих на -областях, є -областю.