4.9.2. Видалення -правил

Визначення 4.35. Назвемо КВ-граматику G=(N, T, P, S) граматикою без -правил (або нескорочуваною), якщо Р не містить -правил, тобто правил виду A →.

Лема 4.6 За кожною КВ-граматикою можна побудувати еквівалентну їй (з точністю до порожнього ланцюжка – -еквівалентну) граматику без -правил.

Доведення. Нехай дана КВ-граматика G=(N, T, P, S), що породжує мову L(G). Проведемо серію перетворень множини P. Якщо множина P містить правила B→Aβ і A→ для деяких A, BN, , β(NT)*, то додамо правило B→β в P. Повторюємо цю процедуру поки множина правил не стабілізується. Далі виключимо із множини P всі правила вигляду A→.

Наведений алгоритм можна уточнити за допомогою наступних індуктивних визначень.

1. P₀=P

2. P _i={B→β є правила B→AβР, A→P_i-1}  R _i-1 (i=1,2, …).

Оскільки множина правил є скінченною, а праві частини нових правил коротші, то формула для визначення P_i задає монотонне за і відображення. Тому існує k (k0), що P_k=P_k+1. Інакше кажучи, послідовність P₀, P₁, P₂, … стабілізується на k-му кроці. Покладемо P=P_k\{A→P_k} .

Одержана граматика G=(N, T, P, S) породжує мову L(G)\ {}.

Дійсно, кожен вивід у граматиці G, який не породжує порожнє слово, може бути промодельований у граматиці G, що легко доводиться індукцією по довжині виводу. Так само можна промоделювати виводи в G виводами в G, використовуючи замість модифікованих правил виду B→β початкові правила виду B→Aβ з подальшим виводом порожнього ланцюжка з A. _▄

Приклад 4.20. Розглянемо граматику G з правилами

S→aSb

S→bSa

S→

Застосувавши до цієї граматики описаний метод видалення -правил, отримаємо граматику G з правилами

S→aSb

S→bSa

S→ab

S→ba,

яка еквівалентна з точністю до порожнього ланцюжка граматиці G.

4.9.3. Нормальна форма Хомського

Визначення 4.36. Назвемо КВ-граматику G=(N, T, P, S) граматикою у нормальній формі Хомського, якщо її правила мають вигляд S→, A→a, A→BC для деяких A, B, CN, aT.

Лема 4.7. За кожною КВ-граматикою можна побудувати еквівалентну їй граматику у нормальній формі Хомського.

Доведення. Нехай дана КВ-граматика G=(N, T, P, S). Проведемо ряд перетворень цієї граматики так, що породжувана нею мова залишиться незмінною. Спочатку побудуємо еквівалентну граматику G=(N, T, P, S) без -правил.

Далі замінимо у всіх правилах кожен термінальний символ a на новий нетермінальний символ N(a) і додамо до множини P правила N(a)→a для всіх aT.

Видалимо правила вигляду A→A₁A₂…A_n, де n>2, замінюючи його на наступний ряд нових правил A→A₁N(A₂…A_n), N(A₂…A_n)→ A₂N(A₃…A_n), …, N(A_n-1…A_n)→ A_n-1A_n (при цьому додаються нові нетермінальні символи N(A₂…A_n), N(A₃…A_n), …, N(A_n-1…A_n)).

Якщо для деяких і (NT)* множина містить правила A→B, B→, але не містить правила A→, то додамо це правило в P. Повторюємо цю процедуру, доки можливо. Після цього видалимо із множини P всі правила вигляду A→B.

Нарешті, змінимо S на S, та додамо правила S→, S →S в тому випадку, коли мова L(G) містить порожній ланцюжок.

Приклад 4.21. Граматика S→, S→abSc еквівалентна наступній граматиці в нормальній формі Хомського: S→, S→AB, B→CD, D→SE, C→b, A→a, E→c.