4.5. Приклад породжуючої граматики та її властивості

Розглянемо на прикладі основні визначення та методи доведення властивостей граматик та породжуваних мов.

Нехай задана граматика G3=({S,B}, {a,b,c}, P, S), де

P={

P1: S  aBSc,

P2: S  ,

P3: Ba  aB,

P4: Bb  bB,

P5: Bc  bc

}

Тут P1, P2, P3, P4, P5 – мітки відповідних правил.

Щоб зрозуміти, яку мову породжує ця граматика, побудуємо декілька виводів. Будемо використовувати розмічені виводи. Маємо:

1. S .

2. S aBSc aBc abc.

3. S aBSc aBaBScc aBaBcc aaBBcc aaBbcc aabBcc aabbcc.

4. S aBSc aBaBScc aBaBaBSccc aBaaBBSccc aaBaBBSccc aaaBBBSccc aaaBBBccc aaaBBbccc aaaBbBccc aaabBBccc aaabBbccc aaabbBccc aaabbbccc

Отже, в цих виводах породжено ланцюжки , abc, aabbcc, aaabbbccc. Це дозволяє висунути припущення, що граматика G3 породжує мову L3={aⁿbⁿcⁿ | n0}. Доведемо, що це дійсно так.

Теорема 4.1. L(G3)={aⁿbⁿcⁿ | n0}.

Спочатку доведемо, що L(G3){aⁿbⁿcⁿ | n0}. Це доведення базується на наступній лемі, ідея якої полягає в тому, щоб сформулювати загальний вигляд ланцюжків в об’єднаному алфавіті, що виводяться в G3 (загальний вигляд словоформ).

Лема 4.1. Нехай S*_G3  ((NT)*). Тоді існує n0 таке, що

1. =cⁿ , де {a,B}*, =S або {b,B}*;

2. ||_a=||_c=||_{b,B}= n.

Доведення леми: індукція по довжині виводу.

База індукції. Для виводу довжини 0 маємо, що n=0, =S. Значить,  має вигляд c⁰ (=, =S, c⁰=) і тому ||_a=||_c=||_{b,B}=0. Лема виконується.

Крок індукції. Нехай лема виконується для усіх виводів довжини k0. Доведемо, що вона виконується для виводів довжини k+1.

Візьмемо довільний вивід S_G3₁_G3 ... _G3_k_G3_k+1. Особливість виводів полягає в тому, що початкова послідовність S_G3 ₁_G3... _G3 _k буде виводом довжини k, і тому за індуктивним припущенням для _k виконується твердження леми. Інакше кажучи, є деяке n0, таке що _k=cⁿ та |_k|_a=|_k|_c=|_k|_{b,B}=n. Безпосередній вивід _k_G3_k+1 здійснюється за допомогою одного з правил P1, P2, P3, P4, P5. Розглянемо ці правила по черзі.

1. Нехай вивід _k_G3_k+1 відбувся із застосуванням правила P1, тобто _{k G3}_k+1. Тоді _k має вигляд Scⁿ ({a,B}*), а _k+1=aBScⁿ⁺¹. Тому _k+1 має вигляд Scⁿ⁺¹ ({a,B}*), як того вимагає лема, і крім того, |_k+1|_a=|_k+1|_c=|_k+1|_{b,B}= n+1. Для цього випадку лему доведено.

2. Нехай вивід _k_G3_k+1 відбувся застосуванням правила P2, тобто _{k G3} _k+1. Тоді _k має вигляд Scⁿ ({a,B}*), а _k+1=cⁿ. Тому _k+1 можна подати у вигляді cⁿ (=), як того вимагає лема, і крім того, |_k+1|_a=|_k+1|_c=|_k+1|_{b,B}= n. Для цього випадку лему доведено.

3. Нехай вивід _k_G3_k+1 відбувся застосуванням правила P3. Оскільки _k має загальний вигляд cⁿ, то правило P3 може бути застосовано лише для підланцюжка . Це правило не змінює ані загального вигляду _k+1, ані кількості символів, тому |_k+1|_a=|_k+1|_c=|_k+1|_{b,B}= n. Для цього випадку лему доведено.

4. Нехай вивід _k_G3_k+1 відбувся застосуванням правила P4. Оскільки _k має загальний вигляд cⁿ, то правило P4 може бути застосоване лише для підланцюжка  (хоча можливо замінюване B є останнім символом ). Застосування правила не змінює ані загального вигляду _k+1, ані кількості символів, тому |_k+1|_a=|_k+1|_c=|_k+1|_{b,B}= n. Для цього випадку лему доведено.

5. При застосуванні правила P5 твердження леми також залишається справедливим.

Лему доведено. _▄

Нехай тепер S*_G3t (tT*). Оскільки t – ланцюжок в термінальному алфавіті, то він не містить нетерміналів, і за твердженням леми існує n0 таке, що t=cⁿ, де a*, b* та|t|_a=|t|_c=|t|_b=n. Звідси випливає, що t=aⁿbⁿcⁿ. Інакше кажучи, будь який термінальний ланцюжок, що виводиться в G3, належить мові L3, тобто L(G3)L3.

Доведемо тепер зворотне включення, тобто L3L(G3).

Для цього продемонструємо, як побудувати вивід ланцюжка aⁿbⁿcⁿ для довільного n. Використовуємо індукцію за n.

База індукції. Ланцюжок aⁿbⁿcⁿ (=) отримуємо виводом S .

Крок індукції. Нехай існує вивід слова aⁿbⁿcⁿ (n≥0), тобто S*_G3 aⁿbⁿcⁿ. Доведемо, що існує вивід слова aⁿ⁺¹bⁿ⁺¹cⁿ⁺¹, тобто S*_G3 aⁿ⁺¹bⁿ⁺¹cⁿ⁺¹.

Відповідний вивід будуємо наступним чином. Спочатку до аксіоми застосуємо перше правило, а потім зробимо вивід слова aⁿbⁿcⁿ. Отримали наступний вивід: S aBSc*_G3aBaⁿbⁿcⁿc. Далі n разів застосовуємо правило P3. Отримали ланцюжок aaⁿBbⁿcⁿc(=aⁿ⁺¹Bbⁿcⁿ⁺¹). Після цього n разів застосовуємо правило P4. Отримали ланцюжок aⁿ⁺¹bⁿBcⁿ⁺¹. Нарешті, застосуванням правила P5 отримуємо ланцюжок aⁿ⁺¹bⁿ⁺¹cⁿ⁺¹.

Теорему 4.1 доведено. _▄

Наступним кроком у вивченні породжуючих граматик буде їх класифікація.