Розв’язування 5.7
На мал. 5.7 показаний хід променів в телескопі, які випромінюються елементом об’єкта, що знаходиться на оптичній осі телескопа.
На основі формули, яка відображає збільшення (Г) оптичного приладу, що озброює око:
,
(1)
де
,
– лінійні розміри зображення на сітківці
озброєного і неозброєного ока, відповідно;
,
– кути зору, під яким око бачить предмет
через прилад і без нього,
а також
формули для збільшення телескопа:
,
(2)
де
,
– фокусні відстані об’єктива та окуляра
(мал. 5.7).
Виразимо збільшення телескопа таким співвідношенням:
,
(3)
де d – діаметр світлового пучка, який виходить із окуляра.
Нехай – освітленість зображення на сітківці неозброєного ока, Е – освітленість зображення на сітківці озброєного телескопом ока. Для кожної з величин ( ) та (Е), згідно визначення освітленості, запишемо:
,
(4)
,
(5)
де
,
Ф – світлові потоки, які входять через
зіницю в неозброєне та озброєне телескопом
око; k – коефіцієнт, який
показує долю світлового потоку, котра,
увійшовши в око, досягла сітківки;
,
S – площі зображень на
сітківці неозброєного та озброєного
ока.
Розділивши почленно рівності (5) і (4), отримаємо:
.
(6)
З формули (1), враховуючи, що площа зображення предмета пропорційна квадрату його лінійних розмірів, маємо:
.
(7)
Рівність (6) з використанням (7) запишемо у вигляді:
.
(8)
Таким чином, задача звелася до визначення
відношення
.
Розглянемо обидва задані випадки.
1) Г> .
При цій умові з рівності (3) випливає, що
,
(9)
а значить
.
Тобто, весь світловий потік, який впав
на об’єктив, вийшовши з окуляра, попадає
в око спостерігача.
Так як об’єкт створює однакову освітленість на поверхнях об’єктива і неозброєного ока, то відношення можна замінити відношенням площ об’єктива і зіниці, рівним в свою чергу відношенню квадратів їх діаметрів:
(10)
.
(11)
Враховуючи формулу і (10) формулу (8) запишемо:
.
(12)
Але, згідно умови
. (13)
Тоді
,
(14)
Отже
.
Таким чином, в цьому випадку освітленість (У) зображення на сітківці озброєного ока, будучи пропорційною діаметру об’єктива, залишається меншою освітленості ( ) зображення на сітківці неозброєного ока.
2) Г< .
При цій умові з рівності (3) витікає, що
,
(15)
тобто
.
Отже, лише частина світлового потоку,
який виходить із телескопа, попадає в
око. В цьому випадку, щоб знайти відношення
,
що входить у формулу (8), врахуємо, що
телескоп, перетворюючи падаючий на
об’єктив світловий пучок, згідно формули
(3) зменшує його діаметр в (Г) раз. При
цьому площа поперечного перерізу пучка
зменшується в (
)
раз, а густина світлового потоку в пучку
(тобто, відношення світлового потоку
до площі поперечного перерізу пучка)
збільшується в (
)
раз.
Отже
(16)
(17)
.
(18)
Тому при озброєнні ока телескопом світловий пучок, який входить через зіницю в око, збільшується в ( ) раз, тобто
.
(19)
Використавши формулу (19), співвідношення (8) запишемо:
.
(20)
Звідси випливає, що при умові
озброєння ока телескопом не приводить
до зміни освітленості зображення на
сітківці.
Зауваження. Отримані в обох випадках результати виявляються невірними при спостереженні в телескоп зірки. Кутові розміри зірки менші межі розділення телескопа, яке визначається явищем дифракції світла.
Це означає, що око, озброєне телескопом, також сприймає зірку як світну точку. В цьому випадку величини S та , які входять у формули (7) та (8) і представляють собою площі дифракційних зображень зірки, приблизно рівні одна одній. Тоді з формули (7) отримуємо, що
.
(21)
і враховуючи формули (8) і (10), маємо:
.
(22)
Але
,
значить
і тоді
.
Таким чином, телескоп завжди значно збільшує освітленість зображення зірки на сітківці ока.
Задача 5.8 (Жданов, С.393)
У дворі на висоті 3 м підвішені дві лампи без абажура по 500 св. кожна. Відстань між лампами 4 м. Обчислити освітленість землі під кожною лампою.