Розв’язування 5.3

Виконуємо малюнок (в масштабі) згідно умови задачі.

Мал.5.3. АВ – картина;

– лампа, точкове джерело світла (відстань від лампи до картини значно більша за розміри лампи);

CD – дзеркало.

Від лампи (S) безпосередньо на картину (АВ) падає світловий потік, який поширюється в тілесному куті ASB. Крім того, частина світлового потоку, що випромінюється джерелом S, відіб’ється від дзеркала (CD) і додатково освітить картину (АВ). Щоб показати цей світловий потік на рисунку побудуємо зображення лампи в плоскому дзеркалі. Для цього відкладаємо . Сполучимо точку з точками А і В. З’єднаємо точку S з точками K i L. SK i SL – промені, що впали на плоске дзеркало; KA i LB – відбиті від нього промені.

Таким чином, світловий потік, який падає на картину ( ), складається з світлового потоку , що падає безпосередньо від лампи і , що попадає на картину, відбившись від дзеркала:

(1)

Нехай світловий потік утворює освітленість , а – освітленість . Тоді:

, (2)

. (3)

Отже:

(4)

де – площа картини.

Освітленість, утворювана точковим джерелом світла силою І на відстані r від джерела, визначається за формулою:

(5)

Отже,

, (6)

, (7)

(8)

Підставляємо числові значення: І=60 кд; =0,5 м²; SM=4 м і =8 м і обчислимо значення світлового потоку, що падає на картину:

(9)

Таким чином, аналітична формула, яка визначає залежність світлового потоку Ф від l, має вигляд:

(10)

Другий спосіб.

Як видно з формули (1) цю задачу можна розв’язати і іншим методом. А саме: світловий потік Ф, що падає на картину складається з двох світлових потоків і , що дають джерело S і його зображення , і визначається:

, (11)

де і – значення тілесних кутів, в яких поширюються світлові пучки від джерела S і , що падають на картину.

Але та – це також тілесні кути, під якими видно площу картини відповідно з точок S і . Визначимо ці кути, склавши пропорцію: кульовій поверхні радіусом відповідає тілесний кут ; площі цього ж радіуса відповідає кут . Вважаємо, що площа є частиною кульової поверхні, оскільки відстань від джерела S до площі є значною. Тоді складемо пропорцію:

(14)

Так само

(15)

Отже,

, (16)

що збігається з одержаним вище результатом.

Задача 5.4 (22-12, Фірганг, С.261)

Тонка збиральна лінза з фокусною віддаллю =15 см і діаметром =5 см дає зображення Сонця на екрані, який розміщений нормально до сонячних променів (див. малюнок). Нехтуючи втратами світла в лінзі, знайти середню освітленість зображення, якщо яскравість Сонця =1,5^.10⁹ кд/м². Врахувати, що , де – радіус сонячної поверхні, – відстань від Землі до Сонця.

Мал.5.4