3. Многоленточные машины Тьюринга

1. Внешний алфавит А={0;1}. Машина трехленточная. Даны два числа в двоичном коде, они записаны на первой и второй ленте соответственно. Считается, что слова записаны нормально, то есть оба слова всегда есть и начинаются с единицы (исключение составляет нуль). Определить чему равна сумма этих двоичных чисел и результат записать на третью ленту.

2. Внешний алфавит А={0;1}. Машина двуленточная для распознавания двоичных палиндромов. Машина переписывает входное слово с первой ленты на вторую и сравнивает. Если слово на первой ленте – палиндром, то машина после сравнения переходит в заключительное состояние Ω, если нет – в некоторый момент очередной шаг машины не определен.

4. Применение теорем Шеннона

1. Преобразовать программу машины Тьюринга с тремя внутренними состояниями (машина А) в программу с двумя внутренними состояниями (машина В). Машина А печатает на чистой ленте бесконечную последовательность: 001001001…

2. Преобразовать программу машины Тьюринга с тремя символами внешнего алфавита (машина А) в программу с двумя символами внешнего алфавита (машина В). Машина А печатает на чистой ленте бесконечную последовательность: 001001001…

5. Примитивно-рекурсивные и частично-рекурсивные функции

Доказать примитивно-рекурсивность функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. 

7. 

8. 

9. ;

10. ;

11. ;

12. - целая часть от деления;

13. - остаток от деления x на у;

1. равенство:

2. неравенство:

3. больше:

4. больше или равно:

5. меньше:

6. меньше или равно:

15. 

16. ;

17. 

18. где g(x) – примитивно-рекурсивная функция;

19. 

Восстановить функцию по схеме примитивной рекурсии:

1. ;

2. ;

3. .

Доказать, что следующие функции частично-рекурсивны:

21. нигде неопределенная функция ω, то есть функция с пустой областью определения;

22. 

23. 

24. 

25. функция, определенная в конечном числе точек.

Доказать, что следующие функции примитивно-рекурсивны:

26. - наименьшее общее краткое x и у, где ;

27. - наибольший общий делитель x и у, где ;

28. - x-тое простое число: p(0)=2; p(1)=3; …

29. ;

30. ;

31. .

32. F(x)=a_x, где a_x – х-тый после запятой знак в десятичном выражении корня из двух

33. ex(x,y) – экспонента числа p_x (x-тое простое число) в числе y.

34. C(x,y) – канторовский номер пары натуральных чисел.

Найти значения функции в заданных точках:

a) в (x₁=2; y₁=2); (x₁=3; y₁=3); (x₁=100; y₁=100);

б) в x₁=5, x₂=25, x₃=500;

в) в x₁=0, x₂=10, x₃=50.

Доказать примитивно-рекурсивность множеств:

1. пустое множество;

2. множество всех натуральных чисел;

3. конечное множество натуральных чисел;

4. множество четных чисел;

5. множество точных квадратов;

6. множество простых чисел;

7. совокупность всех значений f(x), если f(x) – примитивно рекурсивная функция и f(x)≥x.

Найти обращения функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.