§. Ступенчатые функции. Дельта-функция Дирака
Ступенчатой функцией действительной переменной называется функция которая изменяет свое значение только в дискретной последовательности точек разрыва (необходимо первого рода).Значения функции в точках разрыва могут быть как определены так и не определены. Наиболее часто применяются следующие ступенчатые функции.
Отметим что
.
Каждая ступенчатая функция может быть
представлена (за исключением, возможно,
ее значений в Точках разрыва
)
как сумма вида
.
Аппроксимация ступенчатых функций непрерывными функциями.
Символическая дельта-функция Дирака.
Симметричная единичная импульсная
функция или функция Дирака
действительной переменной х
определяется условием
,
где
– произвольная функция непрерывная
при
.
Более общее определение дельта-функции Дирака
,
где
– произвольная функция ограниченной
вариации в окрестности точки
.
Дельта функция не является функцией в
обычном смысле. Из определения следуют
несовместимые условия
,
– есть символическая (обобщенная)
функция, позволяющая формально представить
функциональное преобразование
,
как интегральное преобразование.
Формальное применение
приводит к удобным обозначениям,
подсказывающим обобщения многих
математических соотношений. Хотя
функций, обладающих в точности указанными
свойствами не существует, возможно, в
некотором смысле, рассматривать
как пределы обычных функций.
Математические утверждения, в которых применяются импульсные функции, следует рассматривать как эвристические и нуждающиеся в строгих обоснованиях.
Формальные соотношения содержащие .
Производные ступенчатых и импульсных функций.
Формулы приводят к соотношению (a > 0)
,
откуда следует символическое равенство
(его формально можно получить также из формулы). Производные (х), (х), … импульсной функции (х) определяются условиями:
,
где f(x) – произвольная функция такая, что односторонние пределы f(r)(x – 0) и f(r)(x + 0) существуют. Функции (r)( – x) есть ядра линейных интегральных преобразований, представляющих повторные дифференцирования. Отметим символическое соотношение
(r = 0, 1,
2, …).
Аппроксимация импульсных функций.
а) Аппроксимация (х) непрерывно дифференцируемыми функциями.
Возможно, аппроксимировать (х) непрерывно дифференцируемыми функциями
при
,
при
,
при
в том смысле, что
(х 0) и
при условии, что f(x
– 0) и f(x
+ 0) существуют; заметим еще, что
.
Интегрирование аппроксимирующих функций
приводит к соответствующим аппроксимациям
ступенчатых функций (формулы),
(a > 0) сходится к
при
для каждой функции.
б) Аппроксимация (х) разрывными функциями.
(х) часто аппроксимируется центральной конечной разностью
при h
0.
Отметим также, что
(– < X
< )
(интегральная формула Дирихле)
и
(– < X
< ),
если f(x) – функция ограниченной вариации в окрестности точки x = X .
в) Аппроксимация функций (х), (х), …, (r)(х).
Последовательное дифференцирование формулы приводит к аппроксимирующим функциям:
при
,
при
0, (r = 0, 1, 2, …).
Заметим также, что
при h
0.
Ассиметричные импульсные функции.
а) Ассиметричные импульсные функции
+(х), +
(х), +
(х), …,
определяются соотношениями:
(a < b),
(a < b;
r = 1, 2, …).
Можно записать:
.
Чтобы получить аппроксимирующие функции для +(х), нужно подставить аппроксимирующие функции в соотношение, например:
при h
0,
при h
0.
б) Можно ввести +(–х) = –(х) как вторую ассиметричную импульсную функцию, соответствующую «производной» ассиметричной ступенчатой функции U–(x).
Многомерные дельта-функции.
В n-мерном пространстве точек (x1, x2, …, xn) с элементом объема
n-мерная дельта-функция (x1, 1; x2, 2; …; xn, n) должна удовлетворять условию:
для каждой точки (x1, x2, …, xn) в V, где f(x1, x2, …, xn) непрерывна. Заметим, что определение (x1, 1; x2, 2; …; xn, n) зависит от выбора системы координат и теряет смысл, если dV = 0. В частности, для прямоугольной декартовой системы координат x, y, z имеем dV = dxdydz и
(x, ; y, ; z, ) = (x – )(y – )(z – ).