Задача 4
Производится облучение поверхности полубесконечного сильно поглощающего тела сканирующим сфокусированным пучком, движущимся прямолинейно с постоянной скоростью. Определить распределение температуры по линии сканирования в квазистационарном режиме.
Решение
Проанализируем условие задачи:
1) ;
2) источник продолжительного действия;
3) источник точечный;
4)
;
5)
так как тело занимает полупространство,
будем рассматривать задачу нагревания
всего пространства источником мощностью
.
(
–мощность излучения, R
– коэффициент отражения).
Итак, температура при действии точечного мгновенного единичного источника:
.
Размерность числителя: [Дж/м2]. Здесь .
При
действии источника с энергией
:
.
Интегрируя по t', определим :
.
Сделаем замену
переменной:
:
=
,
где
– расстояние от точки, в которой
определяется температура, до источника,
,
если точка находится перед источником,
,
если за ним.
Квазистационарный режим нагревания соответствует условию достаточно больших значений времени, поэтому решение задачи получим из выражения
.
Вычислим интеграл.
=
=
=
,
где – теплопроводность.
Таким образом, распределение температуры по линии сканирования в квазистационарном режиме
Задачи для самостоятельного решения
Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры тонкой поглощающей пленки, нагреваемой лазерным излучением ( постоянна во времени и в пределах облученной области) (7.1-7.9).
7.1.
В точке (
,
)
–
в центре облученной области, имеющей
вид
квадрата со стороной 2а
(
,
).
7.2.
В точке (
,
)
–
в
середине
стороны облученной области имеющей
вид квадрата со стороной 2а
(
,
).
7.3. В
точке
–
в центре облученной области, имеющей
вид круга
радиуса
(написать в полярной системе координат).
7.4. На линии – в середине облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.5. На
линии
–
на границе облученной области, имеющей
вид бесконечной полосы шириной 2а
(
).
7.6. На
линии
–
на границе облученной области, имеющей
вид полуплоскости
(
).
7.7. На линии (а > 0), находящейся в облученной области, имеющей вид полуплоскости ( ).
7.8. В
точке (
,
)
–
в углу облученной области, имеющей вид
четверти плоскости (
,
).
7.9. В точке ( , ), (а > 0) – на границе облученной области, имеющей вид четверти плоскости ( , ).
7.10. Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры биоткани в зависимости от расстояния от точечного источника мощностью Р, расположенного внутри нее и излучающего равномерно во все стороны (глубина проникновения излучения ).
7.11. Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры полубесконечного слабо поглощающего (по закону Бугера) тела в зависимости от расстояния от поверхности, если плотность мощности падающего излучения равномерна по всей поверхности и постоянна во времени.
7.12. Используя метод источников, написать в виде интеграла выражение для температуры полубесконечного сильно поглощающего тела, нагреваемого лазерным излучением ( постоянна в облученной области и не зависит от времени, если не задано иначе) (7.12 - 1.17).
7.13.
В точке
–
в
центре облученной области, если
плотность мощности излучения изменяется
на поверхности по закону
).
7.14. На линии – в середине облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.15. На линии – на границе облученной области, имеющей вид бесконечной полосы шириной 2а ( ).
7.16. На линии – на границе облученной области, имеющей вид полуплоскости ( ).
7.17. На линии (а > 0), находящейся в облученной области имеющей вид полуплоскости ( ).
7.19. В точке ( , ) – в углу облученной области, имеющей вид четверти плоскости ( , ).