4. Розподіл Максвелла-Больцмана

Розподіл молекул у полі консервативних сил, тобто розподіл Больцмана, як і розподіл Максвелла, має ймовірнісний сенс. Інакше кажучи, вираз (12) можна записати так:

,

де або дає частку молекул, потенціальна енергія U яких лежить у межах від U до U+dU. Тут для простоти замінено Е_п на U.

Сама потенціальна енергія – це функція координат U=U(r). Тому формула Больцмана – це розподіл молекул у просторі.

.

Тут f(r) dr дає частку молекул, розміщених у просторі з координатами від r до r+dr. Або у декартових координатах:

.

Це рівняння можна записати і так:

.

У цьому випадку можна говорити про частку молекул, яка перебуває в елементарному об’ємі dV=dx·dy·dz у точці з координатами x,y,z у зовнішньому потенціальному полі. Проте йдеться про частинки, які рухаються з якимись швидкостями. І вони підпорядковуються відповідному розподілу за швидкостями, або за кінетичними енергіями. Тому можна перейти до наступного об’єднувального етапу.

Ми збираємося об’єднати розподіл молекул за швидкостями з розподілом молекул за координатами. Однак передусім зазначимо, що розподіл Максвелла спроваджується не тільки для модулів швидкості, а й для проекцій швидкостей на осі координат. Так, розподіл Максвелла для проекції швидкостей на вісь х має вигляд:

.

Або інакше:

.

Розподіл по інших осях точно такий самий, оскільки частка молекул, які летять у будь-якому напрямі, однакова. Кінетична енергія вільної частинки E_k може бути виражена через її імпульс р:

Тоді розподіл молекул за швидкостями легко перетворити на розподіл за імпульсами:

де f(p)dp – дає частку молекул, які мають імпульс у межах від р до р+dp.

Тепер можна об’єднати функцію розподілу за координатами з функцією розподілу за імпульсами. Це можна зробити тому, що розподіл за координатами не залежить від розподілу за імпульсами і тому, що обидва розподіли мають імовірний характер. Згідно з правилом обчислення ймовірностей незалежних подій сумарна ймовірність дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Об’єднана функція розподілу – функція Максвелла-Больцмана обчислюється як добуток початкових функцій:

де f(p,r)·dp·dr – визначає ймовірність молекули мати імпульс р і координату r, або це є частка молекул, які мають імпульс у межах від р до р+dp і координату в межах від r до r+dr. В компактному вигляді розподіл Максвела-Больцмана має вигляд:

де - повна енергія і-тої частинки в системі, С – стала (знаходиться з умови нормування).

5. Елементи квантової статистики

Якщо кількість частинок у системі дуже велика, то потрібно застосовувати ймовірності або статистичні методи. Ці методи дають змогу з’ясувати доволі загальні й точні закономірності поводження великих ансамблів частинок.

Ідея виявлення загальних закономірностей, справджується і для квантових частинок. Потрібно лише врахувати такі особливості. 1. На відміну від класичних частинок однакові квантові частинки (наприклад, електрони) принципово-нерозрізнювані. Заміна одного електрона іншим не змінює ймовірностей, не змінює квадрата модуля повної багаточастинкової хвильовох функції. До того ж квадрат модуля хвильової функції залишається сталим, як для симетричної, так і для несиметричної хвильової функції. 2. Хвильові функції несиметричні в частинок з напів-цілим спіном і семетричні для частинок із цілим спіном. Частинки з напів-цілим спіном мають підпорядковуватись принципу забороні Паулі, тобто в однаковому стані не може бути більш як одна частинка. На частинки з цілим спіном заборона Паулі не поширюється, і в одному стані може перебувати скільки завгодно частинок. Тому варто припустити, що статистичні закономірності для різних типів частинок мають бути різними. Справді, для частинок з напів-цілим спіном створено «Статистику Фермі-Дірака», а для частинок із цілим спіном – «Статистику Бозе-Ейнштейна». 3. Розмір елементарної комірки фазового простору для класичних частинок такий:

До того ж кожна з величин може набувати будь-яких як завгодно малих значень, причому збільшення координат і збільшення імпульсу ніяк не пов’язані між собою.

Зовсім інша ситуація у квантових частинок. Координати й імпульси квантових частинок пов’язані співвідношенням невизначеснотей Гейзенберга:

Тому елементарна комірка фазового простору для квантових частинок не може бути меншою за h³:

.

Енергія класичної частинки може набувати непрерервного ряду значень, тоді як енергія квантової частинки – тільки дискретного ряду значень. З урахуванням усіх цих особливостей і було здобуто статистичні розподіли для квантових частинок. Наводимо їх без доведення.

Розподіл Бозе – Ейнштейна

Цьому розподілу підпорядковуються частинки з цілим спіном, такі як мюони, к-мезони,фотони. Вони не підпорядковуються правилу заборони Паулі, описуються симетричними хвильовими функціями, і в елементарній комірці фазового об’єму може міститися будь-яка кількість мікрочастинок. Такі частинки називаються - бозонами. Функція розподілу визначає середню кількість частинок у даному стані, або «заселеність» станів із даною енергією :

,

де Wi = значення енергії і-ї частинки; Т- абсолютна температура; k- стала Больцмана; μ- хімічний потенціал у розрахунку на одну частинку. Нагадаємо , що хімічний потенціал – це робота в ізобарно-ізотермічних умовах при збільшені кількості частинок у системі на одиницю. Формула для розрахунку хімічного потенціалу:

де U - внутрішня енергія системи; S - ентропія; Р – тиск; V - об’єм; N - кількість частинок.

Розподіл Фермі-Дірака

Цей розподіл підходить для частинок з напів-цілим спіном, для таких частинок, як електрони, протони, нейтрони. Такі частинки описуються несиметричними хвильовими функціями. В елементарній комірці фазового об’єму може перебувати тільки одна частинка. Частинки підпорядковуються правилу заборони Паулі і називаються ферміонами. Функція розподілу для них має вигляд:

.

Позначення в розподілі Фермі-Дірака такі самі, як і у розподілі Бозе – Ейнштейна.

Неважко побачити, що квантові і класичні розподіли дуже схожі. Більш того, іх можно записати у вигляді єдиної формули:

.

Для розподілу Максвелла-Больцмана =0; для розподілу Бозе-Ейнштейна = -1, для розподілу Фермі-Дірака = +1.