2. Швидкості молекул.

Хаотичний тепловий рух молекул характеризується трьома швидкостями: найбільш ймовірною, середньою арифметичною і середньою квадратичною.

1. найбільш ймовірну швидкістьV_н.й мають більшість молекул. Це значення аргументу, яке відповідає максимуму функції (5). Знайдемо її, дослідивши функцію Максвела (5) на екстремум.

. .

.

Після спрощень маємо

. (7)

Тут враховано що .

2)Знайдемо середню арифметичну швидкість V_{ср. ар.} з таких міркувань: швидкість V₁ мають ∆N(V₁) молекул; швидкість V₂ мають ∆N(V₂) молекул; швидкість V_k мають ∆N(V_k) молекул. Середня арифметична швидкість

,

або,

. (8)

Одержане співвідношення називається правилом статистичного усереднення. Так знаходяться середні значення фізичних величин при відомій функції розподілу по цій фізичній величині. Наприклад, середня енергія може бути знайдена за виразом

.

Розрахуємо середню арифметичну швидкість, скориставшись (5) і (6).

.

Виконаємо заміну аргументу інтегрування

Тоді:

.

Інтегрування по частинам дає

.

Одержуємо

. (9)

3) знайдемо середню квадратичну швидкість V_ср.кв..

Можна середню квадратичну швидкість знайти простіше, знаючи середню енергію поступального руху молекул і означення середньої квадратичної швидкості.

.

Таким чином:

. (10)

3. Барометрична формула. Больцманівський розподіл молекул в силовому полі

Барометричною формулою називається залежність тиску Р атмосфери Землі в залежності від висоти h над її поверхнею. Знайдемо її. Для цього виділимо нескінченно малий циліндр повітря висотою dh і площею основи dS (див. рис.). Позначимо тиск на нижню основу Р(h),

на верхню P(h+dh). Маса повітря в цьому циліндрі dm = ρ∙dh∙dS. Густину знайдемо із рівняння Клапейрона-Менделєєва:

→ → .

Запишемо умову рівноваги циліндра. Горизонтальні сили тиску, які діють на бічну поверхню взаємно компенсуються. Залишаються вертикальні сили

→ →

→ .

Інтегруємо це рівняння з граничними умовами:

При h = 0, P = P_o.

Одержали барометричну формулу

, (11)

де m – маса однієї молекули, Е_п – потенціальна енергія молекули в гравітаційному полі Землі. Формула (11) показує, що по мірі збільшення висоти тиск зменшується по експоненті.

Враховуючи основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії , формула (11) перейде в формулу Больцманівського розподілу молекул по потенціальним енергіям

. (12)

Вираз (12) показує, що на більш високому енергетичному рівні знаходиться менше частинок (рис.). При Е_п2 > Е_п1 n₂ < n₁. Такий розподіл частинок називається нормальним. Якщо ж на більш високому енергетичному рівні знаходиться більше частинок, тобто при Е_п2 > Е_п1 n₂ > n₁, такий розподіл називається інверсною заселеністю енергетичних рівнів. Це термодинамічно не рівноважний стан системи. Саме таке заповнення рівнів необхідне для роботи лазерів.

Із виразу (12) випливає, що з зниженням температури концентрація молекул на висотах, відмінних від нуля зменшується, і при Т = 0К стає рівною нулю. Це означає, що при Т = 0К всі молекули знаходяться на поверхні Землі, тобто при h = 0. Отже силове поле намагається розмістити частинки в положення з мінімальною потенціальною енергією. Тепловий же рух навпаки намагається розподілити молекули рівномірно. Внаслідок цих протилежних факторів і встановлюється експоненціальний розподіл молекул з висотою.