10

Основные типы моделей гидродинамических структур потоков в аппаратах химической технологии

(Методичка №208: Цибизов Г.В., Емельянов В.И., Левшин В.Г. Методические указания и программа по курсу «Математическое моделирование химико-технологических процессов». НИ МХТИ им. Д.И. Менделеева, 1981 г. с.15-32)

Выше было сказано, что при составлении материального и теплового балансов ХТП необходимо учитывать неравномерность движения потоков. Для учета неравномерности движения потоков разработан ряд типовых идеализированных структур гидродинамической обстановки в аппарате, составляющих основу математического описания процессов. Каждая из структур отражает тот или иной вид движения субстанции. Для химико-технологических объектов описание движения потоков важно большей частью лишь в отношении распределения и перемещения масс компонентов в рассматриваемых потоках. Поэтому модели гидродинамических структур потоков ниже будут даны преимущественно в виде уравнений, характеризующих изменение концентрации вещества в потоке, обусловленное его движением.

7.1. Модель идеального вытеснения

Данной модели соответствует структура поршневого движения потоков, при котором перемешивание субстанции в направлении движения потоков отсутствует, а в точках сечения, ортогонального направлению движения, свойства потока одинаковы (рис.2).

Рис.2.

V – объемный расход, м³/с;

С – концентрация некоторого компонента в потоке, кг/м³;

l – длина аппарата, м.

Используя закон сохранения массы (уравнение (1)), получим математическое описание модели. Для этого выделим элементарный объем толщиной Х и сечением F (рис. 3 ).

рис. 3

Концентрация вещества в элементарном объеме изменяется в результате движения субстанции. Определим отдельные слагаемые исходного соотношения закона сохранения массы (ур-ие 1).

Концентрация распределенного в потоке вещества в выделенном объеме V изменилась на величину С (кг/м³), поэтому

Массовые потоки на входе М_вх и выходе М_вых рассматриваемого элементарного объема представляют собой потоки, которые характеризуют вынужденную конвекцию, т.е. конвективный перенос вещества в потоке, имеющем концентрацию С на входе и С+С на выходе V

M_вх. = V · C (кг/с)

M_вых. = V · (C + ΔС) (кг/с)

Таким образом, уравнение материального баланса в данном случае имеет вид:

F · X · С = V · C · Δt - V · (C + ΔС) · Δt = – V · ΔС · Δt

Разделив левую и правую часть данного уравнения на произведение (Х · t), получим уравнение в приращениях:

– V · =

В пределе при и это уравнение примет вид:

– V ·

Вводя обозначение w = V / F (м/с) (линейная скорость), получим окончательно математическое описание модели идеального вытеснения

(5)

Решением данного уравнения является функция

X=0,

при t>0

Данной модели соответствует распределение частиц в трубчатых аппаратах с отношением длины к диаметру свыше 20.

7.2. Модель идеального перемешивания

Данная модель соответствует структуре потока, в котором частицы вещества, поступающего на вход зоны идеального смешения, мгновенно распределяются равномерно по всему объему зоны, так что концентрация распределяемого вещества во всех точках зоны и на выходе из нее одинакова.

Так как концентрация вещества во всех точках объема аппарата (рис. 3) одинакова, математическое описание получаем, используя закон сохранения массы в виде соотношения (2).

V · C_вх – V · С_вых

Решением этого уравнения является функция C=C(t). Начальное условие интегрирования С(0)=С_вх.

Модель применяется для математического описания цилиндрических аппаратов со сферическим дном, с отражательными перегородками при небольшом отношении длины к диаметру.

Модель идеального вытеснения и смешения характеризуют крайние идеальные системы: движение субстанции без перемешивания и абсолютно полное перемешивание.

В потоках поршневого типа частицы среды проходят один и тот же путь с одинаковой скоростью, так что время пребывания τ = V / V всех элементов среды в аппарате одно и то же. Система идеального перемешивания характеризуется тем, что частицы, поступающие в аппарат извне, в каждый данный момент времени мгновенно распределяются по всему объему аппарата равномерно.

Большинство реальных систем по неравномерности распределения времени пребывания частиц в потоках занимают промежуточное положение между этими крайними системами: вытеснения и смешения.

В настоящее время для описания структуры потоков в аппаратах промежуточного типа наиболее широко используют диффузионную и ячеечную модели.