6

Основы математического моделирования

(Методичка №208: Цибизов Г.В., Емельянов В.И., Левшин В.Г. Методические указания и программа по курсу «Математическое моделирование химико-технологических процессов». НИ МХТИ им. Д.И. Менделеева, 1981 г. С.6-15

1. Понятие модели

Познание процессов невозможно без теоретических обобщений. Первым в процессе познания являются результаты наблюдений. Опираясь на наблюдения, строится модель исследуемого явления, на основе которой методом проб и ошибок создается теория. Эта теория содержит в себе предполагаемое представление об исследуемом явлении природы. Руководствуясь этой теорией, планируются новые эксперименты и т. д.

Разработка теории как предполагаемого представления об исследуемом явлении может быть названа построением модели. Тогда теория становится математической моделью исследуемого процесса.

В зависимости от источника информации, используемого при построении модели, различают аналитические(физико-химические) и статистические (эмпирические) модели.

Статистические модели получаются в результате статистической обработки экспериментальных данных, собранных на исследуемом объекте. Статистические модели имеют относительно простую структуру и часто представляются в виде полиномиальных зависимостей. Однако, область их применения ограничена ближайшей окрестностью рабочих точек, в которых проводился эксперимент.

Аналитические модели строятся на основе изучения природы микропроцессов, протекающих в объекте. При этом используются фундаментальные законы природы. Применение этих законов позволяет получить наиболее общие связи между существенными параметрами явлений.

Аналитические модели позволяют достаточно точно описывать процессы. Однако они представляются в виде сложных систем уравнений, часто в обыкновенных или частных производных.

Сложность аналитических моделей определяется возможностью их решения на электронных вычислительных машинах. В связи с этим ЭВМ значительно расширяют возможности аналитических моделей при решении задач химической технологии.

2. Математическое моделирование

Математическое моделирование является методом описания процессов с количественной и качественной стороны с помощью математических моделей. При построении математической модели реальное явление упрощается, схематизируется, и полученная схема описывается в зависимости от сложности явления с помощью того или иного математического аппарата. Таким образом, построение модели представляет собой формализацию, необходимую для определения основных признаков, связей, закономерностей, присущих объекту-оригиналу, и отсеивания второстепенных признаков.

При формализации изучаемого процесса используется аналитическая теория исследования, которая характеризуется следующими особенностями:

1. Потоки в аппаратах рассматриваются как сплошная непрерывная среда (континуум), поэтому микроструктура его и микроскопический механизм процесса выпадают из рассмотрения. Это упрощение значительно облегчает изучение процесса.

2. Для составления математического описания изучаемого процесса используют основные законы природы: законы сохранения массы, энергии, количества движения и др. Однако при этом получают дифференциальные уравнения, число неизвестных в которых превышает число уравнений, т.е. полученная система уравнений не замкнута. Это происходит потому, что основные законы природы не отражают всех частных особенностей микроскопического механизма протекания процесса, присущих конкретному веществу.

3. Для составления замкнутой системы дифференциальных уравнений привлекают гипотезы о дополнительных связях между искомыми величинами. Такие гипотезы возникают в результате непосредственных наблюдений, эксперимента. Однако, эти дополнительные связи между искомыми величинами содержат коэффициенты пропорциональности, без определения которых система уравнений остается незамкнутой.

4. Значения коэффициентов пропорциональности в дополнительных уравнениях, полученных в результате привлечения гипотез, определяют экспериментальным путем. Эти коэффициенты называют физическими параметрами, если их значения зависят только от давления и от температуры (для анизотропных тел физические параметры зависят также от направления из данной точки, а для неоднородных тел – от координат этой толчки). В качестве примера физических параметров можно привести теплоемкость, плотность и т.д. Если коэффициенты пропорциональности зависят еще и от скорости движения, условий перемешивания и т.д., то их называют гидродинамическими параметрами, например, коэффициенты массопередачи, теплоотдачи. Таким образом экспериментальное определение параметров компенсирует отказ от рассмотрения микроскопического механизма процесса.