1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach

Пример 1.5. Рассмотрим антагонистическую игру на множестве G, представляющем собой треугольник OXY O на плоскости (q1, q2) с координатами его вершин O(0, 0), X(1, 1), Y (−1, 1), изображенный на рис. 1.2 (в ле-

вой системе координат), в которой 1-й игрок максимизирует функцию J1 = −(q1 − q2)2, а 2-й максимизирует функцию J2 = (q1 − q2)2. Поскольку пла- т¼жные функции участников отличаются только знаком, то, учитывая, что минимум произвольной функции (−J) достигается в той же точке, что и мак-

симум фукнкции J, удобнее принять, что 1-й игрок минимизирует функцию J = (q1 − q2)2, которую 2-й игрок максимизирует. В подобном случае игра называется антагонистической и оказывается более простой за сч¼т того, что в ней всего одна плат¼жная функция J, а следовательно, множества A1 è A2 не требуется переносить на плат¼жные функции конкурента при поиске множеств B1 è B2, так что оба эти множества ищутся на одной и той же плат¼жной функции J. Требуется только постоянно помнить, что 1-й игрок минимизирует, а 2-й максимизирует J.

q1

6

Аналитический поиск равновесий удобнее проводить, непосредственно пользуясь определениями этих равновесий. Наибольшие трудности всегда достав-

ляет поиск множеств A1 è A2. Начн¼м с поиска множества A2, поскольку оно находится гораздо проще, чем множество A1. Чтобы поиск был эффективен, необходимо сначала на множество G наложить сетку линий уровня плат¼жной функции, т.е. построить семейство кривых J = (q1 − q2)2 = const. Извлекая корень из этого равенства, получаем линии уровня (q1 − q2) = const, так что прямая OX является линией уровня, наиболее выгодной для 1-го игрока и одновременно наиболее невыгодной для 2-го. Таким образом, если

51

задана некоторая ситуация q G, то 2-й игрок может е¼ улучшить, если (при фиксированной стратегии противника q1) переместится вправо (полу- чая максимально возможный выигрыш, если перемещается на линию XY .) Но, в какую бы ситуацию q (правее q 2-й игрок ни переш¼л, у 1-го всегда имеется возможность наказать 2-го, сместившись из ситуации q (при фиксированной стратегии q2) вверх до линии OX, т.е. переведя игру в состояние, когда J = 0. Таким образом, 2-й игрок не в состоянии улучшить ни одной своей исходной ситуации, поскольку 1-й игрок всегда перевед¼т игру на линию OX. Это означает, что множество A2-экстремальных ситуаций совпадает со множеством G.

Поиск множества A1 значительно более трудо¼мок. Очевидно, любую ситуацию на множестве G вблизи точки Y 1-й игрок может безнаказанно улуч- шить и 2-й игрок не в состоянии помешать ему это сделать, поскольку при переходе 1-го игрока из подобной точки на линию OX у 2-го игрока с целью наказания 1-го имеется только возможность перевести игру в точку на линии XY . Однако от этой точки до линии OX расстояние значительно меньшее, чем от исходной точки в окрестности точки Y до этой же линии нулевого уровня. Следовательно, любые точки в окрестности точки Y могут быть улучшены для 1-го игрока, а следовательно, некоторое подмножество множества G в окрестности точки Y не принадлежит множеству A1. В то же время легко убедиться аналогичным образом, что любые точки вблизи линии OX

не могут быть улучшены для 1-го игрока. Следовательно, существует линия, разделяющая эти две области. Чтобы е¼ найти, поступим следующим образом. Разделяющая линия характеризуется тем, что на ней неравенство (1.1) обращается в равенство. Пусть неизвестная нам точка q на рис. 1.2 принад-

лежит участку границы множества A1, разделяющему указанные области. 1-й игрок пытается улучшить е¼, перейдя из не¼ в точку q (отмеченную на

рис. 1.2), а 2-й, в ответ, переводит игру в ситуацию qˆ, в которой (q1 − q2)2 = (ˆq1 − qˆ2)2, так как точки q è qˆ должны находиться на линии одного и

того же уровня функции J = const. Таким образом, мы нашли первое из некоторой системы уравнений, которая позволит нам найти три точки q , q è qˆ. Поскольку неизвестны три точки, т.е. шесть координат, то, следователь-

но, необходимо располагать пятью уравнениями, из которых можно было бы найти зависимость между координатами q1 è q2, которая как раз и являлась

бы уравнением разыскиваемой нами границы множества A1. Второе уравне- ние мы получим, замечая, что из сравнения пары ситуаций q è q íà ðèñ. 1.2 следует, что q2 = q2. Третье уравнение получаем аналогичным образом,

52

сравнивая точки q è qˆ: q1 = qˆ1. Замечая, что точка q лежит на прямой OX, определяемой уравнением q1 = q2, получаем четв¼ртое уравнение, а замечая, что точка qˆ лежит на прямой XY , задаваемой уравнением qˆ2 = 1, получа-

ем пятое уравнение. Из этой системы пяти уравнений получаем уравнение q1 = 2q2 −1 прямой XZ, задающей границу множества A1 внутри множества

G.

Таким образом, находим, что множество A1 совпадает с треугольником OXZO вместе с его границами. Поскольку A2 = G, òî A = A1. Находить более сильные равновесия значительно проще. Множество B1 представляет собой геометрическое место точек, в которых функция J, рассматриваемая как функция координаты q2 (при любом фиксированном значении q1), äî- стигает максимума в сечениях A1(q). Нетрудно заметить, что множество B1 совпадает с отрезком XZ. Òàê êàê A2 = G, а минимум функции J по координате q1 (при всех фиксированных значениях q2) достигается на отрезке OX, то получаем B2 = OX. Отсюда следует, что B = B1 ∩ B2 = X. Далее, имеем

D = X. Заметим, что ситуация X оказывается также и равновесием по Нэшу.

Следующая игровая задача является гораздо более сложной и поэтому мы привед¼м лишь частичное е¼ решение.

Пример. 1.6. Рассмотрим конфликтную задачу с двумя участниками, в которой не существует классического равновесия по Роусу Нэшу в чистых стратегиях.

Пусть 1-й игрок, выбирающий свою чистую стратегию q1 из множества [-1,1], стремится обеспечить максимум функции

f1(q1, q2) = q1(q1 − q2),

а 2-й игрок выбором чистой стратегии q2 из множества [-1,1] максимизирует функцию

f2(q1, q2) = q2(q1 − q2).

Игра происходит на множестве G, представляющем собой квадрат P NMLQKHF ERP , изображ¼нный на рис. 1.3, прич¼м предполагается, что

она разыгрывается один или несколько раз, а следовательно, искать в ней смешанные (вероятностные) стратегии не имеет смысла, так как случайный выбор стратегий игроками в одной или нескольких партиях вполне может привести к самому нежелательному для участников результату. А поиск решения в чистых стратегиях следует проводить, используя введ¼нные выше базовые понятия равновесий.

53

u2

H

M -F u1O

N

P R E

Ðèñ. 1.3

Поскольку семейства уровней функций fi(q1, q2) = const íà G оказываются довольно сложными, то поиск всех равновесий в этой игре довольно затруднителен и теряет свою наглядность. Вследствие этого мы ограничимся только частными результатами.

На рис. 1.3 множество ситуаций A1 представляет собой объединение трапеций LQOP è KERO, а множество A2 объединение треугольников KOF è MOP . Множество ситуаций A-равновесия совпадает со множеством A2. Íà этом множестве 0 ≤ f1 ≤ 1, 0 ≤ f2 ≤ 1/4. Множество равновесий по Роусу

Нэшу пусто, а вот подобное ему множество ˆ1-равновесий состоит из двух

C

ситуаций, N è H, в которых 1-й игрок получает f1 = 1/2, à 2-é f2 = 1/4. Учи- тывая вышеуказанные множества значений плат¼жных функций игроков на

множестве A, их выигрыш в равновесных ситуациях N è H представляется

весьма хорошим.

Привед¼м пример ещ¼ одной задачи подобной же сложности, чтобы продемонстрировать, что аналитический поиск равновесий в конфликтных задачах даже всего лишь на плоскости оказывается весьма трудо¼мким.

Пример 1.7. Найдем наиболее сильные равновесия в игровой задаче с двумя участниками с платежными функциями J1 = q1(q1 − q2) è J2 = q2(q1 − q2), каждый из которых стремится обеспечить максимум своей платежной функции на множестве

G = {(q1, q2) : 1 ≥ |q2| ≥ 1/2, |q2| ≥ |q1|},

представляющем собой пару трапеций, зеркально отображ¼нных относитель- íî îñè q1 íà ðèñ. 1.4.

Прежде всего найд¼м множество A-равновесных ситуаций (см. рис. 1.4):

A1 = MF HL EK M0F 0H0L0 E0K0,

A2 = ENSHLKE EH E0N0S0H0L0K0E0 E0H0,

A = A1 ∩ A2 = SHL EK F H S0H0L0 E0K0 F 0K0,

54

q2

Ðèñ. 1.4.

где кривые NSH è N0S0H0 определяются уравнением J2 = −0, 5 и на рис. 1.4 схематически изображены отрезками прямых.

Множество точных B-равновесий в этой задаче пусто:

B1 = EK [LH) E0K0 [L0H0), B2 = F H F 0H0, B = B1 ∩ B2 = .

Однако в ε-аппроксимации множество B не пусто и задается ε- окрестностью точек H è H0, в то время как равновесие по Роусу Нэшу не существует ни в какой аппроксимации. С точки зрения практических приложений, опирающихся, как правило, на численные методы решения, ε- аппроксимации вполне достаточно. Заметим, что B1-равновесия на первой

итерации уда¼тся найти уже в точном виде (без каких-либо аппроксимаций) и задаются они отрезками [HW ) è [H0W 0), подтверждающими, что наисильней-

шими равновесиями в этой игре действительно оказываются ситуации H è H0, оказавшиеся на нулевой итерации B-равновесными лишь в ε-аппроксимации.

Пример 1.8. Рассмотрим игру с двумя участниками, в которой 1-й игрок выбором стратегии (точки) q1, а 2-й игрок выбором стратегии (точки) q2 стремится максимизировать свою платежную функцию:

причем выбранная игроками пара стратегий (q1, q2) должна принадлежать множеству (рис. 1.5):

55

q1

Найдем все равновесия в этой игре (рис. 1.5):

A1 = HK P N ML, A2 = EF HK L, A = HK L,

B1 = HK L, B2 = F H, B = H,

C1 = D1 = L, C2 = D2 = H, C = D = ,

D10 = H, D20 = H, D0 = H.

Таким образом, единственным наисильнейшим равновесием в этой игре является D0-равновесная ситуация H

2. Несимметричные базовые равновесия

Введенных выше понятий симметричных базовых равновесий, как показывает практика, оказывается все же недостаточно для того, чтобы в любой игровой задаче (некооперативной игре или задаче принятия или отказа игроков от сделанного им предложения) найти единственное решение. Приблизить эту цель в ряде случаев помогают введенные в этом разделе понятия несимметричных равновесий, каждое из которых является некоторым расширением аналогичных им понятий симметричного равновесия, рассмотренных в первом разделе. Определение наиболее слабого несимметричного An-равновесия, обобщающего понятие A-равновесия, опирается на понятие

Ai-экстремальности, даваемое определением 1.1.

Для определения (несимметричного) An-равновесия нам потребуется сна-

чала выделить на Ai-ом множестве (i = 1, 2) наихудшую для i-го игрока

С точки зрения любых приложений множество всех несимметричных An- равновесий целесообразно задавать в виде суммы An = An1 An2 , где через

56

Ani обозначено подмножество множества An-равновесий, задаваемое опреде- лением 2.1 при фиксированном i.

Согласно определению 2.1 каждая ситуация из множества Ani - несимметричных равновесий устойчива к отклонениям от нее i-го игрока в

смысле определения Ai-экстремальных ситуаций (определение 1.1), т.е. на любое отклонение i-го игрока от этой ситуации у другого игрока найдется стратегия наказания, обеспечивающая неравенство (1.1). В то же время для j-го игрока (j 6= i) эта ситуация относительно выгодна в том смысле, что в ней он получает не меньше, чем в самой худшей для него ситуации из множества Aj, от которой он отклониться не пожелал бы вследствие нали- чия угроз (согласно определению 1.1) со стороны i-го игрока. В указанном

Ani , i = 1, 2, оказывается устойчивой к отклонениям от нее любого игрока, а объединение этих множеств дает множество An всех несимметричных An-равновесий.

Множество An-равновесных ситуаций никогда не бывает пустым, как это

показывается в следующей теореме, а следовательно, это множество может рассматриваться как множество наислабейших всегда существующих равновесий, что позволяет строить на его основе понятия более сильных равновесий и при этом не интересоваться тем, когда эти более сильные равновесия существуют.

Теорема 2.1.В любой игровой задаче существует An-равновесие с любой заданной точностью ε.

Эта теорема по существу является следствием теоремы 1.2, если учесть, что, согласно нижеследующему предложению 2.1, множество всех

Доказательство. Действительно, если q A, то, очевидно, значения

функционалов Ji в точке q удовлетворяют неравенствам Ji(q ) ≥ Jimin(Ai), i = 1, 2. А следовательно, q Ani даже при любом i, хотя для включения q An достаточно, чтобы ситуация q содержалась хотя бы в одном из

множеств Ani .

Для приложений An-равновесие едва ли представляет интерес, так как более сильное A-равновесие никогда не пусто и выделяет на множестве G подмножество G \ A, не представляющее интереса для всех игроков с точки зрения A-равновесий вследствие того, что для любой ситуации q G\A íàé-

57

дется хотя бы один игрок, который может уйти из этой ситуации, улучшив значение своей платежной функции, и остальные ему не в силах помешать это сделать. Однако представляют практический интерес такие более силь- íûå (÷åì An) несимметричные равновесия (построенные по той же методике,

÷òî è An-равновесие), соответствующие которым симметричные равновесия оказываются пустыми. Первое усиление An-равновесия дается следующим

определением.

Определение 2.2. Ситуацию q Bi, i = 1, 2, назовем Bn-равновесной,

экстремальных ситуаций в виде суммы Bn =B1n B2n.

Предложение 2.2.Множество Bn является подмножеством множе-

B1n B2n, а следовательно, достаточно показать, что Bkn Ank при любом k = 1, 2. Пусть q Bkn, а следовательно, Ji(q ) ≥ Jimin(Bi) äëÿ i 6= k. Поскольку

согласно определению 1.2 Bk Ak при любом k = 1, 2, то следствием этих

включений являются неравенства Jkmin(Bk) ≥ Jkmin(Ak), k = 1, 2. Но тогда тем более выполняются неравенства Ji(q ) ≥ Jimin(Ai), i = 1, 2

Одним из усилений Bn-равновесия является нижеследующее Cn-

равновесие.

Определение 2.3. Ситуацию q Ci, i = 1, 2, назовем Cn-равновесной,

равновесие.

¯ ¯ n-равновесной, Определение 2.4. Ситуацию q Di, i = 1, 2, назовем D

По аналогии с определениями 2.1 2.4 определяются несимметричные ана- ëîãè D- è D0-равновесий. Прич¼м наибольший интерес представляют наи-

сильнейшие несимметричные равновесия, симметричные аналоги которых пусты.

В любой задаче желательно нахождение единственного наисильнейшего из существующих симметричного равновесия. В случае, если наисильнейшее из существующих симметричных равновесий не единственно, следует искать также и все непустые несимметричные равновесия (каждое из которых не меньше соответствующего ему симметричного) и применять итерационную

58

схему генерирования новых понятий равновесия, даваемую теоремой 1.7. Однако, если все это не позволяет выделить единственное наисильнейшее равновесие, то это означает, что известная базовая система равновесий даже с помощью итерационной схемы генерирования новых понятий равновесия недостаточна для нахождения единственного решения или же то, что задача обладает какой-то симметрией, при которой неединственность решения оказывается естественным внутренним свойством этой задачи. На следующих примерах показывается, как можно с помощью всех перечисленных способов выделения единственного наисильнейшего равновесия (всех известных понятий симметричных и несимметричных равновесий и с помощью итерационной схемы построения новых понятий равновесия) найти в игровой задаче единственное наисильнейшее равновесие (решение).

Пример 2.1. Рассмотрим некооперативную игру с двумя участниками, каждый из которых максимизирует свою (матричную) платежную функцию

Оба игрока располагают четырьмя стратегиями: первый игрок выбирает одну из четырех строк, а 2-й один из четырех столбцов. Игровое множество

G в этой задаче состоит из тех 12 ситуаций aij в вышеприведенных матри- цах, в элементах которых вписаны значения платежных функций. Сначала найдем множества A1, A2 и их пересечение:

Затем определяем наисильнейшее из существующих симметричное равновесие, поскольку, как правило, именно симметричные равновесия представляют наибольший интерес. С этой целью находим все базовые симметричные

59

равновесия:

B1 = (a12, a24, a31, a43), B2 = (a31, a42, a23, a34), B = (a31); C1 = (a12, a24, a31, a43), C2 = (a23, a34, a42), C = ;

B-равновесие (наиболее сильное из непустых равновесий) указало предва-

рительно на единственную равновесную ситуацию a31. Однако, поскольку B- равновесие довольно слабое, то следует искать и другие равновесия. Прежде чем искать итерации этой игры с помощью теоремы 1.7, посмотрим, в какой мере полезным окажется использование несимметричных равновесий.

Так как несимметричные равновесия включают в себя аналогичные им симметричные, то искать несимметричные равновесия для тех типов равновесий, которые являются непустыми, не имеет практического значения, а

искать их целесообразно только в отношении пустых наиболее сильных рав-

¯ 0-равновесий. Получаем: новесий, т.е. в данном случае для D-, D- D

Таким образом, несимметричные равновесия указывают на наиболее сильную равновесную ситуацию a43.

Обратимся теперь к помощи теоремы 1.7. Для этого необходимо рассмотреть новую игру, в которой множество G заменяется на множество A. Подоб-

ный подход (с целью получения наиболее сильного и наиболее приемлемого равновесия в исходной игре) вполне законен, если учесть, что, какова бы ни была ситуация из множества G \ A, всегда найдется игрок, который может

ее улучшить для себя, и остальные игроки не в состоянии помешать ему это сделать. А следовательно, наиболее сильные и одновременно наивыгодней-

шие ситуации в игре игрокам следует искать именно на множестве A. Так что рассмотрим дополнительно новую игру, определенную на множестве A,

называя ее первой итерацией исходной игры.

Поскольку в играх с двумя участниками в первой итерации исходной игры каждое из множеств симметричных базовых равновесий, более сильных,

÷åì A-равновесие, оказывается не уже, чем аналогичное им множество равновесий в исходной игре на множестве G, то можно ожидать, что какие-то из

60