8.3. Метод трапеций
Метод трапеций так же, как и метод прямоугольников, относится к простейшим методам. В этом случае подынтегральная функция заменяется наклонной прямой (у=с1х + со).
На рисунке 8.5 приведен пример вычисления интеграла методом трапеций. По сравнению с методом прямоугольников метод трапеций более точен, так как трапеция точнее заменяет соответствующую криволинейную трапецию, чем прямоугольник.
Рис. 8.5. Иллюстрация метода трапеций
Нетрудно заметить, что в методе трапеций интеграл вычисляется абсолютно точно только при f(х) линейной или кусочно-линейной.
Формулы интегрирования:
• для одного участка интегрирования:
; (8.12)
(8.13)
где x0=a, x1=b, h=b-a.
-
для n участков интегрирования (рис. 8.5):
(8.14)
; (8.15)
(8.16)
Погрешность R вычисления интеграла методом трапеций при использовании двойного просчета на практике может быть определена из следующего соотношения:
(8.17)
где In и In/2 – соответственно значения интеграла при числе разбиений n и n/2. Существуют и аналитические выражения для определения погрешности, но они требуют знания второй производной подынтегральной функции, поэтому имеют только теоретическое значение. С использованием двойного просчета можно организовать автоматический подбор шага интегрирования (т.е. числа разбиений n) для обеспечения заданной погрешности интегрирования (последовательно удваивая шаг и контролируя погрешность).
Пример.
Вычислить для всего интервала и с делением интервала на четыре участка.
Решение
Аналитическое вычисление данного интеграла дает I = агсtg(1)-
-агсtg(0) =0,7853981634. В нашем случае:
1)h=1; xо=0; x1=1;
2)
h
=0,25 (1/4); x0=0;
x1
=0,25; x2=0,5;
х3
=0,75; x4=1;
Вычислим методом левых прямоугольников:
Вычислим методом правых прямоугольников:
Вычислим методом средних прямоугольников:
Вычислим методом трапеций:
.
8.4. Метод Симпсона (парабол)
Этот метод базируется на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится уже не по двум (как прямая в методе трапеций), а по трем точкам на каждом участке (поэтому число разбиений должно быть четным). По этим трем точкам (крайние точки участка и средняя точка) строится интерполяционная функция – полином второго порядка, который аналитически интегрируется. Получается следующая расчетная формула:
• для одного участка интегрирования:
(8.18)
, (8.19)
, (8.20)
где x0=a; x1=(b-a)/2; x2=b; h=(b-a)/2.
• для n участков интегрирования:
;
(8.21)
(8.22)
; (8.23)
. (8.24)
В этой формуле все ординаты с нечетными номерами имеют коэффициент 4h/З, а с четными – 2h/3 (кроме нулевого и последнего). При работе с этим методом обязательно разбивают весь интервал на четное число участков.
На рисунке 8.6 приведен пример вычисления интеграла методом Симпсона. По сравнению с методами прямоугольников и трапеций он более
точен, что наглядно показано на графике (подынтегральная функция почти совпадает с параболой).
Рис. 8.6. Иллюстрация метода Симпсона
Метод Симпсона обеспечивает вычисление интеграла точно, без погрешности при полиноме третьего порядка. Следовательно, этот метод предпочтительнее предыдущих. Количественно оценить погрешность при использовании двойного просчета можно по соотношению
(8.25),
т.е. при увеличении числа разбиений в 2 раза погрешность падает в 15 раз.
Теоретические формулы оценки погрешности содержат производную четвертого порядка от подынтегральной функции, поэтому не имеют практического значения.
Пример. Рассмотрим вычисление интеграла из предыдущего раздела.
Решение
В случае одного участка будем иметь x0=0; x1 =0,5; х2 =1; h =0,5.
