Лабораторная работа № 8. Численное интегрирование.

Вычисление интегралов встречается при моделировании достаточно часто. Численные методы обычно применяются при взятии неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично заданных функций, что в экономических приложениях встречается значительно чаще.

8.1. Концепция численного интегрирования

Все численные методы строятся на том, что подынтегральная функция приближенно заменяется более простой (горизонтальной или наклонной прямой, параболой 2-го, 3-го или более высокого порядка), от которой интеграл легко берется. В результате получаются формулы интегрирования, называемые квадратурными, в виде взвешенной суммы ординат подынтегральной функции в отдельных точках:

(8.1)

Чем меньше интервалы, на которых производят замену, тем точнее вычисляется интеграл. Поэтому исходный отрезок [а, b] для повышения точности делят на несколько равных или неравных интервалов, на каждом из которых применяют формулу интегрирования, а затем складывают результаты.

Все методы различаются значениями ординат x_i, и весов _i.

В большинстве случаев погрешность численного интегрирования определяется путем двойного интегрирования: с исходным шагом (шаг определяется путем равномерного деления отрезка (b–а) на число отрезков n: h=(b–а)/n) и с шагом, увеличенным в 2 раза. Разница вычисленных значений интегралов определяет погрешность.

Сравнение эффективности различных методов проводится по степени полинома, который данным методом интегрируется точно, без ошибки. Чем выше степень такого полинома, тем выше точность метода, тем он эффективнее.

8.2. Метод прямоугольников

Метод прямоугольников можно отнести к простейшим методам.

В этом случае подынтегральная функция заменяется горизонтальной прямой (у=с₀) со значением ординаты, т.е. значения функции соответственно слева или справа участка.

Вычисление определенного интеграла (геометрическая интерпретация определенного интеграла) – это вычисление площади криволинейной трапеции.

Существуют методы: левых прямоугольников, правых прямоугольников и средних прямоугольников.

Разбиваем отрезок [а, b] на n частей с равномерным шагом h.

Метод левых прямоугольников

Формулы интегрирования:

• для одного участка интегрирования (рис.8.1, a):

; (8.2)

(8.3)

• для n участков интегрирования (рис.8.1, б):

; (8.4)

(8.5)

a б

Рис.8.1. Иллюстрация метода левых прямоугольников: а – для одного участка

интегрирования; б – для n участков интегрирования

Метод правых прямоугольников

Формулы интегрирования:

• для одного участка интегрирования (рис.8.2, a):

(8.6)

(8.7)

• для n участков интегрирования (рис.8.2, б):

; (8.8)

(8.9)

а б

y

y

x

a

b

Рис.8.2. Иллюстрация метода правых прямоугольников: a – для одного участка интегрирования; б – для n участков интегрирования

Метод средних прямоугольников

Формулы интегрирования:

• для одного участка интегрирования (рис.8.3, a):

; (8.10)

• для n участков интегрирования (рис.8.3, б):

; (8.11)

где x₀=a, x₁=b, h=b-a.

a б

y

x

a

b

a x₁ x₂ x₃ x₄ b

Рис.8.3. Иллюстрация метода средних прямоугольников: a – для одного участка интегрирования; б – для n участков интегрирования

Нетрудно заметить, что в методе прямоугольников интеграл вычисляется абсолютно точно только при f(х) = с (соnst).

На рисунке 8.4 для сравнения приведены примеры прямоугольников при различном числе участков. Наглядно видно, что площадь всех прямоугольников на правом рисунке отличается меньше от площади под кривой f(х), чем на левом.

a б

Рис. 8.4. Иллюстрация метода левых прямоугольников: а – с 3 участками разбиения отрезка интегрирования [а, b]; б – с 6 участками разбиения отрезка

интегрирования [а, b]

Метод прямоугольников не находит практического применения в силу значительных погрешностей, что подтверждается рисунком 8.4.