125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Az( )

Рис. 3.43. Спектр амплитуд дискретного сигнала

Увеличим теперь период временной дискретизации аналогового сигнала и возьмем его равным значению T, при котором выполняется равенство

в соответствии с которым основы «треугольников» амплитудных спектров будут примыкать друг к другу, как это изображено на рис. 3.44.

Аz( )

(рис. 3.45). В результате наложения высокочастотных гармоник спектра на низкочастотный амплитудный спектр дискретного сигнала (верхние ломаные прямые) оказывается существенно отличным от спектра аналогового сигнала (см.

рис. 3.42).

Причина искажения амплитудного спектра дискретного сигнала (см. рис. 3.45) заключается в том, что частота дискретизации F2 1/ T2 взята не-

достаточно большой, в результате чего высокочастотные составляющие периодического спектра попадают в область низших частот. Такой сдвиг спектральных составляющих из одного диапазона частот в другой называют

наложением спектров.

Эффект наложения спектров дискретных сигналов можно устранить за счет соответствующего выбора частоты дискретизации аналоговых сигналов.

180

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Выясним условия, при которых наложение спектров в дискретизированных сигналах отсутствует.

Пусть спектр аналогового сигнала ограничен верхней граничной частотой в , как это показано на рис. 3.42. Очевидно, что искажение спектра

при дискретизации сигнала не возникает (см. рис. 3.44), если выполняется условие (3.118).

Аz( )

T2

Рис. 3.45. Эффект наложения спектров дискретизированного сигнала

Переходя в соотношении (3.118) от угловой частоты в к циклической

в 2 Fв

( Fв - верхняя циклическая гармоника аналогового сигнала) и заменяя период временной дискретизации T частотой дискретизации сигнала, т.е. F 1Т , получаем соотношение

F 2Fв .

Это уже известное положение теоремы Котельникова (в зарубежной литературе ее называют теоремой Найквиста, или теоремой отсчетов): если

наивысшая частота в спектре сигнала x t не превышает Fв , то функция x t полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отдаленные один от другого не более чем на 1 / 2Fв секунд.

Или другими словами: любой аналоговый сигнал без искажения можно представить последовательностью его дискретных отсчетов x nT при

условии, что частота дискретизации не менее чем вдвое превышает наивысшую гармонику спектра аналогового сигнала.

На практике это условие выполнить затруднительно, поскольку спектр аналоговых сигналов чрезвычайно широк. Поэтому при конечной частоте дискретизации спектр дискретизированного сигнала отличается от спектра аналогового сигнала.

181

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Дискретное преобразование Фурье. Как было установлено (см. формулу

где n - номер дискретного отсчета непрерывной функции; T - период дискретизации непрерывной функции x t .

Согласно формуле (3.119) спектр дискретного сигнала - сплошной. Но таким он бывает лишь при условии, что объем выборки дискретного сигнала бесконечен. На практике выборка отсчетов сигнала всегда конечномерна. Кроме того, по многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на ЭВМ. Это значит, что конечномерной является не только выборка дискретных отсчетов сигнала, но и соответствующее этой выборке количество гармоник спектра дискретного сигнала.

Допустим, что некоторая непрерывная функция (аналоговый сигнал) x t представлена последовательностью N отсчетов этой функции

где T - период временной дискретизации аналогового сигнала.

Приведем в соответствие конечновыборочным отсчетам сигнала (3.120) конечновыборочную последовательность спектральных составляющих

X k , взяв k 0, N 1. Для вычисления N спектральных составляющих (гар-

моник спектра) будем действовать таким способом. Сначала заменим в формуле (3.119) угловую частоту циклической f

а затем перейдем от непрерывных частот к дискретным:

Расставим N спектральных составляющих дискретного сигнала эквидистантно на всем частотном интервале периодичности спектра, который, как показано в предыдущем подразделе, равняется F (рис. 3.46).

Рис. 3.46. Распределение гармоник спектра по оси частот

182

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

интервал частотной дискретизации спектра.

На основании соотношений (3.121) - (3.124) преобразуем бесконечный ряд (3.119) к конечному, записав его в виде

то из равенства (3.128) вытекает, что

W mN k e j 2N k W k

и, следовательно, тождество (3.127) становится доказанным.

183

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Периодичность ФМ можно достаточно просто проиллюстрировать графически (рис. 3.47) на примере восьмиточечного (N = 8) ДПФ. Из периодич-

n 0

Произведя элементарные преобразования в показателе степени экспоненты, имеем

e j 2N n mN k0 e j 2N nk0 e j 2 nm .

Поскольку для любого целого m вторая экспонента в правой части последнего выражения равна единице, формула (3.131) приводит к соотношению

N 1 j 2 nk

X k x n e N 0 ,

n 0

т.е.

X k X k0 ,

что и требовалось доказать.

Таким образом, N-выборочной совокупности дискретных отсчетов сигнала, эквидистантно расположенных на оси времени, соответствует N- выборочная совокупность гармоник сигнала, эквидистантно размещенных на оси частот.

Интервал между соседними гармониками (в герцах) равен

184

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Устройство (аппаратное или программное), реализующее алгоритм

Рис. 3.49. Условное обозначение процессора ДПФ

Развернем формулу (3.119), например, для четырехточечного ДПФ. Имеем

X 0 x 0 W 0 x 1 W 0 x 2 W 0 x 3 W 0 ;

X 1 x 0 W 0 x 1 W 1 x 2 W 2 x 3 W 3 ;

X 2 x 0 W 0 x 1 W 2 x 2 W 4 x 3 W 6 ;

X 3 x 0 W 0 x 1 W 3 x 2 W 6 x 3 W 9 .

Система линейных уравнений (3.132) дает возможность записать соотношение (3.123) в матричной форме

WN xN X N ,

в которой WN - квадратная матрица размерности N N весовых коэффициентов преобразования вектора-столбца входных отсчетов сигнала

частотных гармоник дискретного спектра. Гармоники X k , k 0, N 1 являются компонентами исходного сигнала процессора ДПФ.

185

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Из соотношений (3. 126) и (3. 131) следует, что при вычислении гармоник спектра X k , k 0, 3, над входными отсчетами выполняются элементарные операции умножения на величины 1 (что тривиально) или на величины j с последующим суммированием результатов перемножения. Отметим, что умножение комплексной величины x n на j означает поворот вектора x n против часовой стрелки на угол, равный /2, тогда как умножение на j означает поворот вектора x n по часовой стрелке на угол /2. Матрицу

(3.132) называют матрицей преобразования с минимальными фазами.

Обратное дискретное преобразование Фурье. Обратимся к выраже-

нию для ДПФ

186

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Внутренняя сумма здесь отлична от ноля и равна N лишь при n m

плексно-сопряженным ДПФ последовательности комплексно-сопряженных гармоник сигнала.

Соотношения (3.133) и (3.134) образуют пару ДПФ (соответственно прямого и обратного).

Дискретизация периодических сигналов. При исследовании с помо-

щью ЭВМ непрерывный сигнал x t на интервале времени 0, T заменяется

где - шаг (период) временной дискретизации непрерывного (аналогового) сигнала.

Массив чисел xn , действительных или комплексных, является той единственной информацией, из которой можно судить о спектральных свойствах сигнала x t . Исследование таких дискретных сигналов можно суще-

ственно упростить, если полученную выборку отсчетных значений сигнала повторить бесконечное количество раз влево и вправо по оси абсцисс (рис. 3.50). В результате такой операции приходим к периодическому дискретному сигналу.

На рис. 3.50 черными кружочками обозначена исходная N-мерная последовательность дискретных сигналов, а незатемненными кружочками периодическое продолжение последовательности.

Подобрав для сигнала некоторую математическую модель, можно вос-

187

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

пользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитуд-

ные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.

Рис. 3.50. Дискретное представление периодического сигнала

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов и поставим в соответствие исходному колебанию x t его дискретное пред-

ставление xд t на интервале (0, T)

где xn x n - отсчетные значения x t в n-й точке.

Представим дискретную модель (3.136) комплексным рядом Фурье

Подставляя соотношение (3.136) в (3.137), с учетом формулы (3.135) получим

Введем безразмерную переменную

Это означает, что необходимо поделить на период дискретизации все переменные, имеющие размерность времени в секундах, а именно: аргумент - функции t k , переменные t и T в показателе экспоненты, а также верхнюю границу интегрирования (3.138). В результате такой замены переменных выражение (3.138) приобретет вид

188

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

N 0 n 0

а после перестановки местами операций интеграции и суммирования –

N n 0

Формула (3.139) определяет последовательность коэффициентов, которые образуют ДПФ рассматриваемого сигнала. С точностью до коэффициента 1/N она совпадает с ранее полученной формулой (3.123), но в отличие от нее - математически достаточно корректная. Из соотношения (3.139) четко вытекает, что N-выборочной совокупности отсчетов сигнала xn , взятых с ин-

тервалом временной дискретизации , соответствует N-выборочная совокупность коэффициентов разложения Ck , образующие дискретный спектр этого дискретного сигнала.

Взаимно дополняющие друг друга формулы (3.141) и (3.142) являются дискретными аналогами обычной пары преобразований Фурье для дискретных сигналов.

В литературе можно встретить запись пары ДПФ как в виде системы уравнений (3.141) и (3.142), так и в виде системы уравнений (3.133) и (3.134).

Свойства дискретного преобразования Фурье:

1. ДПФ является линейным преобразованием, т.е. сумме взвешенных сигналов отвечает взвешенная сумма их ДПФ:

189