125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

tions is the integral from product of these functions. Boundaries of integration are determined by the area of existence of functions.

The scalar product of two signals is the mutual energy of these signals. The complete energy of a signal is determined by a scalar product of a signal on itself. In other words, the complete energy of a signal is equal to integral from a square of function which describes mathematical model of a signal. The square root from energy of a signal is called a norm of a signal. Normalized signals (functions) are the signals (functions), complete energy of which is equal to one.

Two signals are called orthogonal if their scalar product is equal to zero. Infinite system of real functions (signals) is called orthogonal, if a scalar prod-

uct of two different functions (signals) is equal to zero. At the same time it is foreseen that the energy of each signal from system is not equal to zero. It means that none of the functions which are considered is equal to zero.

Infinite system of functions, orthogonal in pairs to each other and functions that have single norms is called a system of orthonormal functions or orthonormal basis.

Any signal with finite energy can be given as a generalized row of Furie. Generalized row of Furie is infinite sum of products of basic functions and corresponding coefficients. A collection of coefficients of break-up forms a spectrum of a signal.

Coefficients of break-up of generalized row of Furie (spectrum) of time function (signal) are determined by a scalar product of this signal with corresponding basic functions. Such way of definition of coefficients of break-up provides a minimum of a quadratic error of approximating of a signal by the finite-dimensional row of Furie.

The energy of a signal is equal to the sum of energies of all components (harmonics), that generalized row of Furie consists of them. It means that the energy of a signal is equal to the sum of energies of spectral components, and the square of the modul of coefficients of generalized row of Furie numerically is equal to the particle of energy of a signal which is kept in corresponding constituent (harmonic) of a signal.

Process of getting the useful information which signal contains can be given as hardware (or program) definition of numerical values of coefficients of generalized row of Furie of this signal.

All random signals and interferences are unforeseen. Thus it is impossible to find the mathematical formula for random signals that could be used to calculate their instant values.

All random phenomena that are studied in probability theory can be divided into three types: random events; random sizes; random processes. Each of these types of the random phenomena has its own features and characteristics.

Random event is any fact that can appear or fail to appear as a result of attempt.

200

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

The size value of which varies from attempt to attempt in random way is called random. It is impossible to foresee for sure for such size what value it will gain under concrete conditions of attempt.

Function of division of probability shows probability that the random size does not exceed concrete value

The mathematical waiting is average value of a random size.

The dispersion quantitatively characterizes a measure of scattering of results of separate attempts relatively to the average value.

Random processes can be of different types: non-stationary, stationary, quasistationary, ergodic. But in engineering the majority of random signals and interferences are of stationary ergodic random processes

Fluctuation noise is the most typical for the majority of telecommunication channels and it is stationary ergodic random process with gauss (normal) division of probability.

The spectral density of power of fluctuation noise depends on the physical nature of its creation and also on a point where it is observed.

The main power characteristics of the real signal is its power and energy.

The average power can be calculated for random signals (interferences) regarding a spectral density of power.

Regarding a logarithmic unit of measuring of levels such characteristic of quality as the ratio the signal-interference will be equal to a difference of levels of a signal and interference.

The dynamic range of a signal characterizes the boundaries of changes of instant power.

The coefficient of amplitude of a signal is the ratio of its maximal power to average.

The duration of a signal is a time slice of its existence. It is calculated as a difference between the time of ending of a signal and the time of its beginning.

The necessary ratio the signal-interference is determined regarding power characteristics; the bandwidth of communication channel is installed as necessary for undistorted transmission of the information regarding the width of a spectrum of a signal.

Theoretically any signals of finite extension in time have infinitely wide spectrum. Real technical devices have a finite bandwidth. While transmitting the signals with infinitely wide spectrum through technical devices there is a distortion of spectrum which inevitably leads to distortion of forms of an incoming signal.

The frequency of digitization F should be equal to the double upper frequency of a spectrum of a signal for undistorted signal injection with the limited spectrum in sequence of its discrete countings.

Discrete signals are formed as a result of time digitization of continuous (analogue) signals. As a rule, the step of time digitization is selected constant.

201

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

The main mathematical device which is used for the spectral analysis of discrete signals is the device of Z-transformations that plays in relation to discrete signals the same role as well as integral transformation of Furie for continuous signals.

The integral transformation of Laplas makes the basis of Z-transformations. As a result of digitization of all functions of time in transformation of Laplas they come to Z-transformation.

The Spectrum of discrete signals is a periodic function of frequency with an in-

terval of periodicity even in the case when a spectrum of its analogue prototype is aperiodic function.

Any signal with the limited spectrum without distortions can be given as a sequence of its discrete countings on condition that frequency of digitization exceeds not less than twice the highest harmonic of a spectrum of an analogue signal.

Discrete transformation of Furie puts a finite dimensional spectrum of the same dimension, as a sample size of incoming signals in accordance to finite dimensional sample of digital signals. Harmonics of a discrete spectrum are placed equidistantly on an interval from zero to sampling rate.

Ключевые слова

202

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

4.1.Аналоговая обработка информации

Вразвитии новейших технологий ведущее место принадлежит вопросам обеспечения достоверного приема и передачи информационных потоков по каналам связи. Объекты и процессы, связанные потоками информационных данных различной природы, в частности и электрической, подлежат преобразованию и обработке в информационных системах. В современной радиоэлектронике можно выделить три основных направления развития методов и средств обработки информации (рис. 4.1):

Методы обработки информации

Рис. 4.1. Основные методы и средства обработки информации

аналоговая обработка сигналов с помощью аналоговых фильтров, состоящих из пассивных элементов L, C, R, операционных усилителей и т. д.;

дискретно-аналоговая обработка сигналов с помощью дискретно-

аналоговых фильтров на базе вычислительных приборов с обратной связью

(ПОС);

цифровая обработка дискретных сигналов с помощью цифровых фильтров на основе цифровых автоматов-вычислителей (процессоров), обрабатывающих ряды числовых последовательностей.

Например, аналоговые и дискретно-аналоговые фильтры на базе пассивных элементов и операционных усилителей имеют меньшую сложность и стоимость, больший частотный диапазон. Однако они не обеспечивают высокой точности и стабильности результатов обработки информации, поскольку имеют неконтролируемые погрешности вследствие нестабильности параметров своих элементов, обусловленной старением последних, изменением температуры, влажности, питающих напряжений, помехами, дрейфом нуля усилителей и другими факторами.

Высокая точность и стабильность результатов присущи цифровой обработке, которая делает невозможными неконтролируемые погрешности. Тем

204

Глава 4. Обработка информации

не менее цифровые фильтры - устройства более сложные, дорогие и ограниченные по частоте - имеют ряд своих, хотя и контролируемых, погрешностей, связанных с дискретизацией и квантованием сигнала, округлением кодов отсчетов и т.д.

Физические системы и их математические модели. Системные опера-

торы. Радиотехнические устройства независимо от своего назначения являются системой или совокупностью физических объектов, между которыми существует определенная связь.

Система рассматривается как взаимодействие некоторого оператора Т (рис. 4.2) и входного влияния на систему Uвх t . Оператор Т характеризует

взаимосвязь в системе. Реакцией системы на влияние есть сигнал Uвых (t) .

Рис. 4.2. Обобщенная схема типовой системы

Сигнал на выходе Uвых t TUвх t , где Uвх t - собственная функция оператора T . Для полного описания такой системы отмечают область существования Dвх и Dвых соответственно для входного и выходного сигналов.

Область существования описывает характер входного и выходного сигналов, а также их структуру (аналоговая, дискретная, цифровая).

Математической моделью системы называют совокупность входного и выходного сигналов, области их существования Dвх и Dвых , а также си-

стемный оператор взаимосвязи. Классификацию системы осуществляют на основании свойств заданных математических моделей системы.

Стационарной называется система с реакцией, не зависящей от момента времени, в которой происходит входное влияние.

Если система стационарная, то Uвых t t0 TUвх t t0 . т.е. Т не является функцией времени. Такая система называется системой с постоянными во времени параметрами.

Если оператор T является функцией времени T t , то такая система

называется нестационарной, или параметрической.

Важным свойством для классификации систем является признак линейности или нелинейности характеристики системы, которая описывается оператором T ( T может быть как линейной, так и нелинейной функцией).

Условия линейности:

T Uвх t Uвх2 t TUвх1 t TUвх2 t ,

T Uвх t T Uвх t ,

где - произвольное число.

205

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

В случае выполнения этого условия система будет линейной, а в случае невыполнения - нелинейной. Нелинейные системы имеют элементы с нелинейной характеристикой.

Временные и частотные характеристики линейных стационарных систем. Сигнал можно представить как совокупность элементарных единичных функций (импульсов), причем продолжительность импульса стремится к нулю. Такой процесс называется динамическим представлением сигнала (см. главу 3):

U ( ) (t).

Задача определения выходного сигнала сводится к отысканию функций, являющихся реакцией системы на внешнее влияние (сигнал), которым есть δ-функция. Поскольку совокупность δ-функций - это и есть наш сигнал, то исходное влияние определяется как сумма реакций на все δ- функции, образовывающие сигнал.

Импульсная переходная характеристика является реакцией на внеш-

нее влияние, которым является δ-функция:

h t T t .

Это выражение рассматриваем для стационарной системы. Тогда

h t t0 T t t0 .

Такая форма записи идеализирована, поскольку реальные системы могут только приближенно создать импульс с единичной площадью и продолжительностью, стремящейся к нулю. Реальный импульс можно считать δ- функцией, если его продолжительность достаточно невелика в сравнении с собственным масштабом времени системы.

На основании рассмотрения динамической системы входной сигнал представим как

Uвх t Uвх t d .

Реакция цепи на такой сигнал

Uвых t TUвх t T Uвх t d .

Система линейная и стационарная, поэтому оператор системы T можно внести под знак интеграла:

Uвых t Uвх T t d ,

Согласно свойствам свертки:

Uвых t Uвх t h d .

Последние два выражения называют интегралами Дюамеля.

206

Глава 4. Обработка информации

207

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Рис. 4.3. Обобщенный вид электрического фильтра как четырехполюсника

Комплексной функцией линейной электрической цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение комплексных изображений реакции (исходной величины) к влиянию (входной величине) в устойчивом режиме:

Используя комплексные функции, можно оценивать свойства фильтров в частотном диапазоне, т.е. определять реакцию на любое гармоническое влияние:

. .

U в ы х ( j ) K( j )U вх ( j ).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - зависимость моду-

ля комплексной функции K ( j ) от частоты. АЧХ отображает изменение

соотношения между амплитудами (действующими значениями) выходного и входного колебания при изменении частоты входного колебания.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) описывает зависимость ар-

гумента Ф комплексной функции от частоты. ФЧХ показывает измене-

ние начальной фазы колебания на выходе цепи относительно начальной фазы колебания на входе при изменении частоты входного колебания:

Действительная частотная характеристика определяет зависи-

мость действительной части Re K( j ) комплексной функции от частоты.

Мнимая частотная характеристика определяет зависимость от ча-

стоты мнимой части Im K( j ) комплексной функции.

Комплексная функция объединяет попарно частотные характеристики. В связи с этим комплексную функцию называют амплитудно-фазовой ха-

рактеристикой.

Изменение частоты входного сигнала сопровождается изменением длины и положением вектора K ( j ) на комплексной плоскости. Конец вектора

при изменении частоты от 0 до ∞ описывает траекторию, называемую ча-

стотным годографом.

Частотный годограф является амплитудно-фазовой характеристикой цепи.

208

Глава 4. Обработка информации

На годографе стрелкой указывается направление перемещения вектора, соответствующее увеличению частоты; могут быть обозначены точки, соответствующие характерным значениям частоты. На рис. 4.4 приведен годограф цепи.

Связь между частотными и временными характеристиками цепи. Реакцию цепи на произвольное действие можно рассчитать с помощью ее частотных и временных характеристик. В первом случае используют интеграл Фурье, во втором - интеграл свертки. Частотные и временные характеристики соответствуют разным способам представления свойств цепи: частотному (спектральному) и временному. Они зависят только от конфигурации, состава и параметров элементов цепи и имеют непосредственную связь между собой.

Как известно, импульсная временная характеристика h(t) численно равна реакции цепи на действие δ-функции. Если K ( j ) - комплексная функция

цепи, то с помощью обратного преобразования Фурье находим

Комплексная функция цепи равна спектральной плотности ее импульсной временной характеристики, тогда как импульсная характеристика является обратным преобразованием Фурье (оригиналом) ее комплексной функции.

Интегрирование в формуле (4.4) осуществляется в пределах от 0 до + , поскольку h (t) = 0 при t < 0.

Частотные и временные характеристики цепи взаимосвязаны. Изменение частотных характеристик всегда служит причиной изменения временных характеристик и наоборот.

В качестве примера рассмотрим пропорциональное сжатие частотных характеристик по частоте. Этому соответствует изменение масштаба частоты. Подставив в выражение (4.3) K( jn ) вместо K ( j ) , получим

h1 t 1 K jn e j t d .

2

209