125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

го на рис. 3.31. Это выплывает из условия физической реализуемости сигнала: отзыв цепи (системы и тому подобное) начинает формироваться не раньше за появление влияния на входе.

Базис Котельникова. Как известно, базис в общем случае образует бесконечную совокупность ортогональных функций, норма каждой из которых равняется единице.

Напомним, что ортогональными называются такие сигналы u t и v t , скалярное произведение которых равно нулю:

u, v u t v t dt 0.

Если к тому же энергия каждого сигнала равна единице, то сигналы u t

Ограничения, которые накладываются на полосу частот сигнала, дают возможность находить интересные и важные классы ортогональных сигналов. В качестве самого простого примера ортогональных сигналов можно привести такую пару полосовых сигналов, спектры которых не пересекаются. Равенство нулю скалярного произведения этих сигналов непосредственно вытекает из формулы (3.60).

Менее очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным спектром заключается в их сдвиге во времени.

Рассмотрим два ИНС u t и v t . Оба они имеют одинаковые параметры U0 и в , но отличаются тем, что сигнал v t запаздывает относительно сигна-

Спектральная плотность сигнала v(t) определяется соотношением

160

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

V U e j t0

или согласно выражению (3.58)

Допустим, что спектральная плотность сигнала u t задана соотношени-

ем (3.58). Подставив выражения (3.58) и (3.62) в (3.60), получим формулу для скалярного произведения этих сигналов

Из соотношения (3.64) вытекает, что два одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если сдвиг между ними во времени удовлетворяет условию

Минимально возможен сдвиг t (назовем его шагом временного сдви-

га), который приводит к ортогонализации, имеем при k 1, т. е.:

где Fв - верхняя предельная частота среза (в герцах) идеального ФНЧ, что отвечает верхней гармонике колебаний в ИНС.

В соотношении (3.66) взято во внимание, что в 2 Fв .

Принципиально важно, что условием (3.65) удается не только добиться ортогонализации двух ИНС, но и построить ортогональный базис для сигналов, в спектре которых отсутствуют частоты, выше чем в .

Покажем это на примере ИНС. Воспользовавшись соотношениями (3.61), (3.65) и (3.66), образуем совокупность сигналов

Сигналам vk t отвечает спектральная плотность

161

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

спектральной плотностью (3.58) ИНС u t , временная функция которого задана соотношением (3.59). Покажем, что совокупность vk t сигналов (3.68) образует исчислимое множество ортогональных функций. С этой целью нам

Из системы (3.71) вытекает, что взаимная энергия El сигналов vk t , заданных соотношением (3.67) и разнесенных на l интервалов t, определяющихся по формуле (3.66), равняется нулю, т.е. функции vk t образуют ансамбль ортогональных функций.

К аналитической форме ансамбля ортогональных функций vk t перей-

162

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

дем, воспользовавшись выражениями (3.58) и (3.67). Получим

Таким образом, ансамбль ортогональных функций vk t образован за счет часового сдвига идеального низкочастотного сигнала (3.59) на k интерва-

Рис. 3.33. Графики ортогональных ИНС

Построим на основании функций vk t , заданных соотношениям (3.72), систему ортонормированных функций (базис), которые обозначим как k t . Для этого необходимо требовать, чтобы энергия каждой функции vk t рав-

нялась единице. Согласно соотношению (3.71) энергия E каждого сигнала составляет

Приравняв правую часть (3.73) к единице, получим, что система ортогональных функций vk t становится нормируемой при условии

Подставив значение (3.74) в формулу (3.72), приходим к системе ортонормированных функций:

которая образует так называемый базис Котельникова в пространстве ИНС с

163

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

частотами, ограниченными сверху величиной в. Отдельная функция k(t)

называется k-й отсчетной функцией.

Таким образом, базис Котельникова является совокупностью ортонормированных функций k (t), образованных из идеального низкочастотного сигнала (с верхней предельной частотой в и спектральной плотностью в

Теорема Котельникова (теорема отсчетов). Теорема, которую доказал В. О. Котельников в 1933 г., является одним из фундаментальных положений теоретической радиотехники. Теорема устанавливает возможность как угодно точного восстановления сигнала с ограниченным спектром по его дискретным значениям, взятым через равные промежутки времени.

Пусть s t - произвольный сигнал, спектральная плотность которого отличается от нуля лишь в интервале частот в в . Его можно разло-

жить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова, т.е. подать в виде

ния этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Релея

k F k t , где F - оператор прямого преобразования Фурье.

Приступим к вычислению спектральной плотности k . Заметим, что из сравнения выражений (3.74) и (3.77) вытекает

164

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

(3.75) для функции vk (t), спектральная плотность которой задана соотношениям (3.67). Следовательно

причем в формуле (3.79) учтено условие выражения (3.78), в соответствии с которым U0 1. Подставив значение (3.79) в (3.77), получим

Выражение в фигурных скобках правой части формулы (3.80) есть не что иное, как мгновенное значение сигнала s tk sk в k-й отсчетной точке:

форма ряда Котельникова

Формула (3.81) является содержанием теоремы Котельникова (теоремы отсчетов): произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот, выше Fв , можно представить последовательностью дискретных отсчетов это-

го сигнала, взятых через одинаковые промежутки времени 1 / (2Fв ).

Обозначив рассмотренный промежуток времени отбора дискретных отсчетов сигнала (назовем его периодом дискретизации) Т, т.е. взяв

теорему Котельникова таким образом: для неискаженного представления сигнала с ограниченным спектром последовательностью его дискретных отсчетов частота дискретизации F должна равняться удвоенной верхней частоте спектра сигнала Fв , т.е. F 2Fв .

Особенность теоремы Котельникова заключается в ее конструктивном характере. Эта теорема не только указывает на возможность разложения сиг-

165

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

нала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 3.34).

+

s(t)

Рис. 3.34. Алгоритм синтеза сигнала

Пусть имеем совокупность генераторов, которые создают на своих выходных зажимах отсчетные функции

Генераторы являются управляемыми - амплитуда их сигналов пропорциональна отсчетным значениям sk . Если теперь объединить колебание на

выходах, подав их на сумматор, то на выходе сумматора согласно формуле (3.81) появится мгновенное значение синтезированного сигнала

Физически восстановление сигнала с ограниченным спектром из последовательности его дискретных отсчетов реализуется с помощью идеального ФНЧ, частота среза которого выбирается равной верхней частоте спектра сигнала.

Допустим, что дискретные отсчеты сигнала формируются, как изображено на рис. 3.35. Последовательность sk образуется как результат умножения сигнала s(t) и задержанной на k периодов дискретизации дельта-функции, т.е. sk s(t) (t kT ), причем Т выбирается из условия (3.82).

Реакцией идеального ФНЧ на входное воздействие типа дельта-импульс(t kT ) является функция вида (3.83), или отсчетная функция ряда Котель-

никова. С учетом того, что ФНЧ является интегрирующим звеном (сумматором), нетрудно понять, что этот ФНЧ именно и реализует формулу (3.84), т.е. восстанавливает сигнал s(t).

166

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Таким образом, для восстановления сигнала s(t), имеющего ограничен-

ный спектр Fв , по заданной последовательности его дискретных отсчетов sk , взятых с частотой дискретизации F 2Fв , необходимо пропустить эту последовательность через идеальный ФНЧ, частота среза которого выбирается такой, которая равняется верхней частоте спектра сигнала Fв .

Аппроксимация прямоугольного сигнала рядом Котельникова. Ряд Котельникова часто используют для приближенного описания сигналов с неограниченным спектром, значительная часть энергии которого сосредоточена в низкочастотной области.

Пример. Рассмотрим прямоугольный видеоимпульс. Прямоугольный видеоимпульс не принадлежит к сигналам с ограниченным спектром, однако модуль его спектральной плотности достаточно быстро (по закону 1/ ) уменьшается с ростом частоты.

Чтобы упростить представления прямоугольного видеоимпульсу рядом Котельникова, разместим импульс на оси времени так, как это показано на

рис. 3.36. Математическая модель s t такого сигнала достаточно простая

Поскольку согласно равенству (3.85) в области отрицательных значений времени сигнал отсутствует, представим ряд Котельникова такого сигнала (см. формулу (3.81)) выражением

в котором n - количество отсчетов sk прямоугольного видео-импульса, которое эквидистантно подбирается на всем интервале его существования от нуля

167

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Пусть задано количество n отсчетов прямоугольного видеоимпульса, которые эквидистантно подбираются по всей области существования t 0, ³ . Очевидно, что период дискретизации

Это значит, что когда n = 2, период дискретизации равняется длительности импульса и , а два отсчета сигнала s0 и s1 берутся соответственно в начале и в конце импульса. При n = 3 отсчета s0, s1 и s2 берутся с интервалом T = и / 2 соответственно в начале, середине и конце импульса. И, наконец, при n = 5 отсчет s0 берется в самом начале импульса, а все следующие - через четверть

длительности импульса, т.е. T = и / 4 и т.д.

В соответствии с выражением (3.66) ИНС ортогонализируется при сдвиге на промежуток времени t T , если его верхняя частота â удовлетворяет условию

видеоимпульс подается последовательностью n эквидистантно размещенных

На основании соотношений (3.87) и (3.90) приходим к окончательной формуле ряда Котельникова, который аппроксимирует прямоугольный видеоимпульс

Т.е. если представить прямоугольный видеоимпульс всего двумя его отсчетами, взятыми в начале и в конце импульса, то это значит, что в спектре этого импульса будут учтены составляющие, ограниченные частотой в / і .По

формуле (3.91) находим приближенное выражение математической модели сигнала аппроксимации

168

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

А если представить этот импульс тремя равноотдаленными отсчетами (то есть взять n 3 ), то, как следует из соотношения (3.90), в спектре сигнала

Существует и другой класс сигналов, энергия которых сосредоточивается в высокочастотной области и практически не существует в области низких частот. Назовем такой класс сигналов высокочастотным. Из этого класса сигналов широкого применения приобрели так называемые полосовые сиг-

налы, примером которых являются модулируемые сигналы.

Дадим некоторые рекомендации относительно алгоритмов дискретизации аналоговых полосовых сигналов и их восстановления из последовательности дискретных отсчетов.

Следовательно, пусть имеем некоторый сигнал s(t), спектр которого содержится в интервале 0 , 0 , в котором 0 - центральная несу-

щая частота, а - девиация частоты. Будем считать, что вне отмеченного интервала гармоник спектра полосового сигнала нет. Для случая амплитудной модуляции являет собой верхнюю гармонику â спектра модулиро-

ванного сигнала. В случае угловой модуляции - это непосредственно девиация частоты фазомодулированных (ФМ) или частотномодулированных (ЧМ) сигналов.

Теорема Котельникова и для таких сигналов дает возможность выбирать значение частоты дискретизации F полосового сигнала s t . Верхней угловой частоте в 0 сигнала s(t) соответствует верхняя циклическая частота Fв ,связанная с â выражением в 2 Fв .

169