125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Принятие такого условия связано с тем, что во многих задачах теории сигналов используют в расчетах не конкретные значения мощности, а отношение мощности сигнала к мощности помехи. При расчетах отношения сопротивление R сокращается, и для упрощения расчетов его считают единичным.

Чтобы отличить расчеты мощности при таких условиях R 1 Ом от мощ-

ности на каком-то сопротивлении R 1 Ом, в формуле (3.41) и других, куда входит мощность, за единицу мощности берут вольт в квадрате (В2), а не ватт

(Вт).

Энергия сигнала на интервале t1 , t2 определяется как интеграл его мгновенной мощности

150

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

151

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

152

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Динамический диапазон и коэффициент амплитуды. Динамиче-

ский диапазон DС , дБ, сигнала s t характеризует границы изменения мгновенной мощности и определяется выражением

DС 10lg pmax pmin , (3.55)

где pmax , pmin - соответственно максимальное и минимальное значения мгно-

венной мощности, определенные любым способом. Например, минимальную мощность, если ее тяжело найти, считают такой, которая равняется мощности помехи или средней квадратичной погрешности.

Коэффициентом амплитуды сигнала KA называется отношение его максимальной мощности к средней. В логарифмических единицах, дБ, име-

В некоторых случаях динамический диапазон и коэффициент амплитуды определяются не в логарифмических, а в абсолютных единицах («в разах»).

Длительность и ширина спектра сигнала (помехи). Под длительно-

стью сигнала понимают интервал времени его существования. Вычисляется длительность сигнала как разница между временем окончания сигнала tк и временем его начала tп

Ts tк tп .

Ширина спектра - это интервал частот, который занимает спектр. Вычисляется ширина спектра как разница между максимальной fmax и мини-

мальной fmin частотой спектра

Fs fmax fmin .

Расчеты длительности сигнала (помехи) и ширины спектра не вызывают осложнений, если этот сигнал (помеха) имеет четко определенное начало или конец, а его спектр - граничные частоты. Но с преобразования Фурье вытекает, что когда сигнал имеет конечную длительность, то спектр его нескончаемый, и наоборот. Поэтому практически необходимо договориться об определении длительности и ширины сигнала (помехи).

На практике используются разные методы нахождения Tc и Fc , выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы и структуры. Наиболее применяемые следующие методы определения Tc и Fc :

1. Отсчет на заданном уровне от максимального. Обычно длительность

153

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

можно выбрать и любое другое значение, например 5 % от максимального, как это показано на рис. 3.22. В этом - неопределенность метода.

2. Энергетический метод. За дли-

Числовые характеристики сигналов и помех широко используются в

телекоммуникационных системах. По энергетическим характеристикам определяется необходимое отношение сигнал/помеха, по ширине спектра сигнала устанавливается полоса пропускания канала связи, необходимая для неискаженной передачи. Для непрерывных первичных сигналов ширина спектра определяется, как правило, экспериментально. При определении ширины спектра импульсных сигналов можно воспользоваться одним из важнейших положений теории сигналов и спектров:

если Fс означает ширину спектра некоторого сигнала длительностью Tñ , то всегда выполняется соотношение

154

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

где - постоянная величина, близкая единице ( 1) для видеоимпульсов и двум ( 2 ) для радиоимпульсов.

Суть этого соотношения в том, что ширина спектра сигнала обратно пропорциональна его длительности.

3.4. Математические модели сигналов с ограниченным спектром

Все рассмотренные ранее сигналы принадлежат к таким, которые теоретически имеют бесконечно широкий спектр. Это значит, что при попытке восстановления исходного сигнала методом суммирования его гармоник необходимо учитывать бесконечное множество спектральных компонентов. Потеря каждого из них, а тем более некоторого их подмножества, сопровождается искажением формы сигнала. Искажение будет тем большим, чем большее количество гармоник утрачено при восстановлении сигнала по его спектральным составляющим.

С физической точки зрения процедура восстановления сигнала, которая основывается на учете всех спектральных составляющих из бесконечно широкого спектра, неисполнимая. Не следует забывать также о том, что вклад, сделанный спектральными компонентами при , становится ничтожно малым по сравнению с самими сигналами, энергия которых конечна. Кроме того, любое реальное устройство, предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания. Наиболее характерно это для устройств типа частотных фильтров.

Идеальный низкочастотный сигнал. Рассмотрим особенный класс сиг-

налов, спектральная плотность которых отличается от нуля лишь в пределах некоторого интервала частот конечной длины.

Пример таких сигналов - радиоимпульс с линейной частотной модуляцией при значении базы В, которая стремится к бесконечности и имеет конечную ширину спектра.

Пусть D - частотный интервал, в пределах которого спектральная плотность U некоторого сигнала u t не равняется нулю, т.е. U 0, если

D. В общем виде математическая модель сигнала с ограниченным спектром определяется формулой обратного преобразования Фурье

u t 1 U e j t d . 2 D

В зависимости от выбора интервала D и функции U можно получить

самые разнообразные сигналы с ограниченным спектром.

Рассмотрим колебание, спектральная плотность которого постоянная и приобретает действительное значение в пределах частотного интервала, ограниченного некоторой верхней частотой в . Вне этого интервала спек-

155

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

тральная плотность превращается в ноль:

График спектральной плотности (3.58) изображен на рис. 3.24. Мгновенное значение этого сигнала находим за формулой обратного преобразования Фурье.

U ( )

U0

Рис. 3.24. Спектральная плотность ИНС

Это колебание называется идеальным низкочастотным сигналом (ИНС),

график которого, построенный по формуле (3.59), имеет вид осциллирующей кривой, парной относительно начала отсчета времени (рис. 3.25). С увеличением верхней предельной частоты в растут как значение центрального максимума,

так и частота осцилляций.

В пределе при в , стремящейся к бесконечности, сигнал u t переходит в

дельта-функцию, т.е. lim u t t .

â

u(t)

Рис. 3.25. ИНС

ИНС можно получить, подав на вход идеального фильтра нижних частот

156

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

(ФНЧ) сигнал s t с равномерной на всей оси частот спектральной плотно-

стью (рис. 3.26).

Как известно, равномерную в бесконечном интервале частот спектраль-

Для того чтобы обеспечить на выходе фильтра (см. рис. 3.26) формирование сигнала u t с равномерной в интервале частот [0, â ] (для физиче-

ски реализуемого фильтра), частотная передаточная функция фильтра K

должна быть такой, как на рис. 3.28.

Очевидно, что идеальный ФНЧ (см. рис. 3.26) в случае подачи на его вход дельта-функции вырезает из ее спектра (см. рис. 3.27) участок частот от 0

к в . Сигналу u t на выходе фильтра будет соответствовать спектральная плотность

отличающаяся от плотности (3.58) отсутствием компонент на отрицательных частотах.

K( )

U t

Um

U0

Заметим, что физически реализуемый ФНЧ формирует отклик (исходный сигнал) не раньше, чем с момента появления входного сигнала. Если короткий

157

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

входной сигнал прямоугольной формы (аналог дельта-импульса) появляется в момент времени t 0, то реакция ФНЧ на такой сигнал будет иметь вид

функции U t , изображенной на рис. 3.29.

Максимальное значение отклика Um в момент времени t 0 определяется соотношением

Um U0 â .

Как еще одну модель сигнала с ограниченным спектром рассмотрим идеальный полосовой сигнал.

Идеальный полосовой сигнал. Построение математической модели полосового сигнала опирается на предположение, что его спектр ограничен полосой частот шириной = 2 с центром на частотах 0 . Если в пределах этой

полосы спектральная плотность сигнала постоянная (рис. 3.30):

то по аналогии из ИНС его называют идеальным полосовым сигналом (ИПС).

Мгновенные значения ИПС можно найти по формуле обратного преобразования Фурье. Как следует из рис. 3.30, спектральная плотность ИПС является парной функцией относительно начала оси частот и в общем случае

Рис. 3.30. Спектральная плотность ИПС

Поскольку U задано как действительную функцию, которая равняется U0 в пределах полосы частот 0 , 0 , то последний интеграл можно записать в виде

158

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

описывает закон изменения огибающей ИПС.

Рис. 3.31. Реализация ИПС

Способ образования ИПС вполне очевиден: на вход идеального полосового фильтра (рис. 3.32), пропускающего колебание с частотами в пределах

полосы 0 , 0 , нужно подать широкополосное влияние типа дельта-импульс.

K( )

1

Рис. 3.32. Частотная характеристика идеального полосового фильтра

На выходе идеального полосового фильтра будет наблюдаться сигнал, осциллограмма которого соответствует правой половине графика, приведенно-

159