125 Кібербезпека / 4 Курс / 4.2_Управління інформаційною безпекою / Лiтература / V_P_Babak_A_A_Kliuchnykov-Teoreticheskye_osnovy_zashchity_informat

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

стоят из некоторого множества одномерных сигналов.

Целое число N называют размерностью сигнала. В качестве примера многомерного сигнала можно привести систему напряжений на зажимах многополюсника.

Критерий динамики сигналов. За характером изменения во времени различают статические и динамические сигналы. В статической модели сигнала нет часового параметра. Такие сигналы используются прежде всего для хранения информации в виде цифровых кодов, например в ячейках памяти цифровых вычислительных машин, в программируемых логических матрицах

ит.п. Динамические сигналы зависят от времени. Их математические модели содержат часовой аргумент.

Критерий вещественности сигналов. Часовые функции, с помощью которых задаются модели сигналов, могут приобретать как вещественные, так

икомплексные значения. Выбор той или другой модели сигнала предопределяется лишь простотой математического анализа. За так называемым критерием вещественности все сигналы можно разделить на два класса: веществен-

ные и комплексные сигналы.

Все рассмотренные ранее модели сигналов принадлежат к классу вещественных. Математическую модель комплексных сигналов можно подать в общем виде

Частным случаем модели (3.3) является так называемый комплексноэкспоненциальный сигнал x t e j t cos t j sin t, применение которого

продуктивно при решении задач спектрального анализа.

Критерий повторяемости сигналов. Периодичность также может быть классификационным признаком сигналов. За этим критерием различают два ос-

новных класса сигналов: периодические и апериодические (одиночные) сигналы.

Общая форма математической модели периодического сигнала имеет вид x t x t nT , n 1, 2,..., где Т - период сигнала. Некоторые периодические сигналы изображены на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Примеры периодических сигналов: а - прямоугольные; б - срезанные косинусные

120

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Апериодический (импульсный, или одиночный) сигнал x t является

частным случаем периодического сигнала и получается из него, когда период следования импульсов Т устремляется к бесконечности, т.е.

Рассмотрим математические модели самых простейших типовых сигна-

лов.

Гармонические сигналы. Гармонические сигналы называют еще тригонометрическими сигналами. Математическая модель таких сигналов определяется формулой (3.1), а типичная осциллограмма изображена на рис. 3.2, а.

Комплексно-экспоненциальные сигналы. Математическая модель ком-

Воспользовавшись формулой Эйлера, представим модель (3.4) следующим образом:

121

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Слагаемые в правой части уравнения (3.5) - соответственно вещественная и мнимая составляющие комплексно-экспоненциального сигнала (3.4).

Представим выражение (3.5) в несколько иной форме:

z t x t jy t ,

где x t и y t - действительные сигналы; j 1 - мнимая единица.

На рис. 3.5 изображена структурная схема устройства физического моделирования пары действительных сигналов x t и y t , которые еще называются

квадратурными сигналами:

аппаратурной реализации соответствующих алгоритмов преобразования сигнала z t .

Прямоугольные видеоимпульсы. Математическая модель одиночного прямоугольного видеоимпульса, симметрично расположенного относительно начала отсчета времени (рис. 3.6), задается соотношением

U , t 2, 2 , s t

0, t 2, 2 ,

где U - амплитуда; τ - длительность прямоугольного видеоимпульса.

В общем случае видеоимпульс может быть смещен относительно начала отсчета времени вправо (задержанный сигнал; рис. 3.7, а) или влево (опере-

жающий сигнал; рис. 3.7, б).

122

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

s(t)

U

Рис. 3.6. Прямоугольный видеоимпульс

Рис. 3.7. Смещенные по времени прямоугольные видеоимпульсы

Математические модели смещенных во времени прямоугольных видеоимпульсов можно записать в виде систем уравнений:

а s t t0 - к модели опережающего сигнала, причем t0 означает интервал временного смещения сигнала.

Треугольные видеоимпульсы. Математическая модель одиночного треугольного видеоимпульса, симметрично расположенного относительно начала отсчета времени (рис. 3.8), задается системой равенств:

123

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

t

Рис. 3.8. Треугольный видеоимпульс

Треугольный видеоимпульс в общем случае также может быть смещенным относительно начала отсчета времени (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Смещенные во времени треугольные видеоимпульсы

Математическая модель треугольного сигнала, задержанного на промежуток времени t0 (рис. 3.9, а), имеет вид

Для опережающего треугольного видеоимпульса (рис. 3.9, б)

124

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Ступенчатые сигналы. Ступенчатые сигналы (рис. 3.10) еще называют

функциями включения, сигма-функциями или функциями Хевисайда.

σ(t)

1

t

0

Рис. 3.10. Ступенчатый сигнал

Математическая модель ступенчатого сигнала аналитически описывается системой равенств

В общем случае ступенчатая функция может быть смещена относительно начала отсчета времени (рис. 3.11) на величину t0 (задержки или опережения).

1

Рис. 3.11. Смещенные ступенчатые сигналы: а - задержанный; б - опережающий

Математическая модель ступенчатого сигнала, задержанного на промежуток времени t0, имеет вид

125

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Математическая модель опережающей на промежуток времени t0 ступенчатой функции определяется системой

Графики, приведенные на рис. 3.11, отображают характер сдвига задержанного и опережающего сигналов относительно начала отсчета времени.

Дельта-функция. Рассмотрим импульсный сигнал v t; прямоугольной формы, основа которого равняется , а высота h - величина, обратная : h 1/ . Очевидно, что при любом площадь v , ограниченная таким сигна-

лом, равняется единице: Графики сигналов v t; , симметрично

размещенных относительно начала отсчета времени, для двух значений изображены на рис. 3.12.

v(t; τ)

1/τ1

1/τ2

t

Рис. 3.12. Изображение функций v(t; )

Этот импульс характерен тем, что при любом выборе параметра его площадь равняется единице:

Пусть теперь величина стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел такой функции при 0 называется дельта-

функцией, или функцией Дирака

126

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Относительно дельта-функции, заданной выражением (3.9), говорят, что она сосредоточена в точке t 0. Однако, как следует из соотношений (3.7) и (3.8), площадь, ограниченная дельта-функцией, конечна

Выражение (3.10) определяет условие нормирования дельта-функции.

Для сокращения вместо дельта-функции записывают иногда -функция. Также как и ступенчатая, дельта-функция может быть смещена на некоторый промежуток времени t0 (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Изображения дельта-функций: а - задержанная; б - опережающая

Смещенную справа на оси времени дельта-функцию называют задержан-

ной дельта-функцией. Ее модель записывают системой равенств

В случае смещения дельта-функции влево относительно начала отсчета времени ее называют опережающей дельта-функцией. Ее модель такова:

Между дельта-функцией и ступенчатой функцией существует взаимо одно-

127

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

значное соответствие. Это соответствие можно легко установить с помощью вспомогательной функции, математическая модель которой задается системой равенств

Из предельных соотношений (3.12) и (3.13) непосредственно следует, что дельта-функция есть производная от ступенчатой функции

t t .

Вравной степени правильно и обратное соотношение: ступенчатая функция есть интеграл от дельта-функции

t

t d .

128

Глава 3. Информационные сигналы и их математические модели

Если некоторую непрерывную функцию x t умножить на дельта-

функцию t t0 и произведение проинтегрировать по времени t, то ре-

зультат будет равняться значению непрерывной функции в той точке t0, где

сосредоточен -импульс. Действительно, в соотношении x t t t0 dt

подинтегральное выражение отличается от нуля лишь для t t0 . В этой точке функция x t приобретает конкретное значение x t0 , которое можно выне-

сти из-под знака интеграла. Часть интеграла, которая осталась, согласно условию нормировки дельта-функции (3.10), равна единице. Таким образом, получаем выражение

x t0 x t t t0 dt.

В этом проявляется фильтрующее свойство дельта-функции, которое можно использовать в устройствах измерения мгновенных значений некото-

рого сигнала x t . Структурная схема измерителя (рис. 3.15) состоит из двух звеньев: умножителя и интегратора.

∫

δ(t – t0)

Рис. 3.15. Измеритель мгновенных значений сигнала

Значение x t0 будет измерено тем точнее, чем короче реальный сигнал, который приближенно подает дельта-функция.

Сигнум-функция. Функция sign t , математическая модель которой представляется системой равенств

129