3. Формы представления чисел в двоичной системе счисления

В ЭВМ используют две формы представления чисел: с фиксирован­ной (“естественная форма”) или с плавающей (“полулогарифмическая форма”) запятой. При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой устанавливается для всех чисел или перед старшим, или после младшего разряда и остается неизменным, т.е. фиксируется. Для кодирования знака числа S используется старший разряд. Нуль в этом разряде соответствует плюсу, а единица - минусу. В остальных разрядах числа располагается мантисса М, сдвинутая таким образом (умноженная на коэффициент фиксации 2^{ P}), что она будет либо целая, либо дробная для всех чисел в зависимости от положения запятой. Если запятую зафиксировать после младшего разряда, то все числа программист считает целыми, разрядная сетка имеет вид

2m	2m-1	2m-2		21	20
S	xm-1	xm-2	. . .	x1	x0	.

Часто опускают весовые коэффициенты цифр и разряды обозначают только индексами цифр, например, вида

63	62		1	0
		. . .			.

Запятая в разрядной сетке никак не кодируется и только в программе путем детального ее анализа можно выяснить, что процессор работает с целыми или дробными числами.

Современные процессоры фирмы Intel ориентированы на систему арифметических команд для работы с фиксиро­ванной запятой после младшего разряда для m+1 = 8/16/32/64. Увеличение разрядности чисел с 8 до 64 бит способствует по­вышению точности и диапазона представления чисел новых типов ЭВМ. Пусть m+1 = 64, тогда целые числа без знака могут быть представлены от нуля до 2⁶⁴-1 (все единицы в разрядной сетке). С учетом знака число Х целое может лежать в диапазоне

- (2⁶³-1)  Х  (2⁶³-1).

Все числа  Х  1 и Х  2⁶³, а также результаты вычислений не могут быть представлены в принятой разрядной сетке и способствуют появле­нию особых случаев и прерываний в вычислениях. Для исключения подобных случаев осуществляют масштабирование массива чисел, т.е. ум­ножают все числа (или часть) на соответствующий коэффициент фиксации. Например, требуется числа Х₁ = - 10101,1111 и Х₂ = + 101,111110 разместить в разрядной сетке 8 бит с фиксированной запятой со знаком как целые. Тогда определяют наибольшее число  Х_i; его масштабируют (сдвигают) 2^P таким образом, чтобы наибольшее число значащих старших цифр разместилось в разрядной сетке; младшие цифры, которые не размещаются в разрядной сетке, отбрасывают или иногда используют для округления; все другие числа умножают на полученный коэффициент фиксации и разме­щают в соответствующие разряды.

Так как Х₁  Х₂, то используем Х₁ для определения коэффициента фиксации Х₁ = 1.1010111,2^-2. Заметим, что в Х₁ за знаком располагается единица и что точка, отделяющая знак числа от мантиссы, не включается в разрядную сетку ЭВМ. Тогда число Х₁ будет представлено с наибольшей точностью в виде

1101 0111,

где слева старший разряд, а справа младший. С учетом знака и коэффициента фиксации 2^-2 число Х₂ будет представлено как 00010111. Причем младшие цифры 11 в Х₁ и 1110 в Х₂ невозможно разместить в этой разряд­ной сетке. Они отброшены, и точность представления этих чисел уменьшается.

Если использовать масштабный коэффициент 2⁺⁵, то числа Х₁ и Х₂ будут представлены в ЭВМ как дробные с фиксированной запятой перед старшим разрядом 1101 0111(Х₁), 0001 0111 (Х₂). Запятая в них предполагается слева после знака, старшая цифра имеет вес 2^-1, младшая - 2^-7.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позво­ляет упростить схему ЭВМ, программы арифметических операций, которые можно выполнять с высоким быстродействием. Однако все числа представляются в разрядной сетке с разной точностью, так как масштабирование ведется с ориентацией на большие числа, а коэффициент фиксации массива чисел одинаков.

Для повышения точности и диапазона представления чисел в ЭВМ используется форма с плавающей запятой вида

Х = 2^P М, 1/2   М  1,

где М – нормализованная мантисса числа, 2^P – характеристика числа Х, р –порядок, 2 – основание.

В этой форме порядок представлен целым числом р со знаком (Sp), ман­тисса – правильная дробь, т.е. представлена с фиксированной запятой перед старшим разрядом со знаком (S). Так как мантисса нормали­зована 1/2  М  1, старшая цифра мантиссы числа всегда равна 1, и любое число размещается в разрядной сетке ЭВМ с наибольшей возможной точностью.

Так число

Х₁ = - 2⁺⁵  0,1010111110…0.

Тогда в разрядной сетке Х₁₍₂₎ будет представлено с плавающей запятой значениями порядка и мантиссы со знаками в виде

Sp	p	S	M
0	0 … 0101	1	1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 … 0
m	0		-1 -n

Для упрощения действий над порядками их сводят к микрооперациям над целыми положительными числами путем искусственного смещения значения р на величину +p_max.­ Смещенный порядок определяется по формуле

E = p +  p_max.

В смещенном порядке знак отсутствует. Для представления Е необходимо столько же разрядов, как и для представления модуля порядка и знака. Так, если порядок будет занимать один байт в числе, то 7 разрядов в обычном представлении в нем отводится под модуль порядка, и p_max = 2⁷-1. Теперь, прибавляя к любому порядку число p_max (+127), получим смещенный поря­док. Например, если p = + 5, то E₍₁₀₎ = 5 + 127 = 132. Размещая Е₍₂₎ без знака, получим представление смещенного порядка 1000 0100 в разрядной сетке 1 байт. Смещенный порядок 0…0 соответствует наибольшему отрицатель­ному порядку, а 1…1 - наибольшему положительному порядку. Величина E = p_max указывает на нулевой порядок. Смещенный порядок намного упро­щает операции сравнения и сдвига чисел.

Если при сложении мантисс появляется цифра с весом 2⁰, то есть ман­тисса вида 1, …, то считается, что произошло левое нарушение нормализации числа, когда  М  1. А если в микрооперациях получена мантисса  М  1/2, то это соответствует правому нарушению нормализации числа, ко­гда в старшем разряде мантиссы с весом 2^-1 появляется нуль.

Учитывая, что нормализованная мантисса всегда содержит 1 в стар­шем разряде, часто мантиссу сдвигают на один разряд влево, увеличивая точность представления числа включением в разрядную сетку еще одного младшего разряда мантиссы. Единица с весом 2^-1 сдвигается в разряд с весом 2⁰, однако в разрядной сетке ОЗУ она не размещается и восстанавливается только в регистрах сопроцессора. Если представить число Х₁ в формате с одинарной точностью (ОТ), где под порядок отводится байт, оно будет иметь вид

Наибольшее отличное от нуля по модулю число, которое может быть представлено в фор­мате ОТ, будет равно X_max = 2⁺¹²⁷  (1 - 2^-23), а наименьшее X_min = 2^-127  1/2 = 2^-128. В зависимости от целей программирования в ЭВМ используются различные форматы данных.