Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
449.02 Кб
Скачать

Глава I. Организация вычислений в эвм

1. Позиционные системы счисления

Способ представления чисел посредством знаков называется системой счисления (СС). Для кодирования информации в ЭВМ используются позиционные СС, в которых значение любого символа (цифры) определяется его позицией или расположением в представлении числа. Любое действительное число можно представить в позиционной системе счисления в виде степенного ряда

Х = (x m km + xm-1km-1 + + x1k1 + x0k0 + x-1k-1 + + x-n k-n),

где kоснование системы счисления (k  2, целое положительное число); xi – цифры (xi  {0, 1, …, k-1}); i – номер позиции (разряд) числа, ki – вес цифры. Так как в вычислениях часто используется одинаковое основание, то оно не присутствует в записи числа, а число без весовых коэффициентов ki представляется в виде

X = xmxm-1 x1x0, x-1 x-n ,

где целая часть числа отделяется от дробной запятой. С целью упрощения записи числа в нем опускают запятую для целых чисел и индексы i, определяющие вес цифры в представлении числа. Для того чтобы отличить числа различных СС, их в конце помечают цифрами или символами основания, например, 506(8), 506,Аh – числа восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Определим диапазон представления числа в (m+n+1)- разрядной сетке. Для этого вычислим максимальное число без знака, которое можно разместить в этой сетке в k-й СС. Подставляя в разряды наибольшую цифру в представлении числа в виде степенного ряда, получим

Xmax =.

В данном выражении есть сумма членов геометрической прогрессии, которая равна значению

.

Подставляя это значение в выражение Xmax, получим

Xmax = km+1k-n,

где (m+1) – число разрядов целой части числа без знака, а n – дробной. Тогда с учетом знака диапазон представления чисел X будет определяться выражением

- (km+1k-n)  X  + (km+1k-n).

В этом диапазоне может быть размещено наименьшее отличное от нуля число без знака

Xmin = k-n.

Число различных цифр, которое можно разместить в (m+n+1)-разрядной сетке без знака, включая и нуль, можно определить из выражения

.

Для представления М различных цифр в k-й СС потребуется следующее число разрядов

L =] log k M [,

где скобки   указывают на округление до большего целого.

Затраты оборудования (число элементов) для представления любого (m+n+1)-разрядного числа без знака в k-й СС могут быть определены по формуле

Nk = k (m+n+1).

Подставляя вместо (m+n+1) значение, определенное путем логарифмирования выражения для М, получим

Nk = k log k M.

Для определения наилучшей СС для ЭВМ по затратам оборудования воспользуемся функцией F = Nk / N2, вид которой показан на рис. 1.1.

Можно показать, что минимальные затраты оборудования при непрерывном k будут соответствовать системе с основанием е  2,72 натурального логарифма и F = N3 / N2 = 0,946.

Рис. 1.1. Зависимость затрат оборудования в k-й СС

Таким образом, для ЭВМ оптимальной СС по затратам оборудования является троичная, а затем, чуть хуже, двоичная. Учитывая то, что многие ал­горитмы арифметических операций в двоичной СС выполняются проще, чем в троичной, и намного быстрее и удобней запоминать и передавать цифры 1,0 (вклю­чено, выключено), вся информация в ЭВМ кодируется, преобразуется и запоминается в двоичной СС. Кроме двоичной СС из-за кратности оснований ис­пользуются также восьмеричная и шестнадцатеричная СС, цифры и символы которых кодируются двоичными эквивалентами.

Для обозначения цифр восьмеричной СС 0, 1, …, 7 пользуются двоичными кодами: <000>, <001>, …, <111>. Цифры и символы шестнадцатеричной СС 0, 1, …, 9, А(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15) кодируются тетрадами: <0000>, <0001>, …, <1001>, <1010>, <1011>, <1100>, <1101>, <1110>, <1111> с использованием всех комбинации в тетраде нулей и единиц с весами <23, 22, 21, 20>, т.е. код <8, 4, 2, 1>.

Так, если в тетраде имеется код <1011>, то легко определить цифру 16 СС путем сложения значащих весовых коэффициентов <123 + 022 + 121 + 120>(2) = 11(10) = В(16) = Bh.

Соседние файлы в папке Дубинин Н.М. Организация ЭВМ и Систем