2. Алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее общий алгоритм перевода числа X_(k1) с основанием k₁ в число X_(k2) с основанием k₂ выполняется в следующей последовательности:

- число X_(k1) представляют в виде степенного ряда;

- заменяют цифры х_i с основанием k₁ их k₂-ми представлениями;

- выполняют все операции сложения, умножения, возведение в степень в k₂-й СС;

- с учетом точности определяют число целых и дробных цифр в числе X_(k2), округляют и представляют по необходимости X_(k2) в виде степенного ряда.

Рассмотрим общий алгоритм перевода чисел на примере числа X₍₂₎= 1001,101, которое переведем в Х_{(10) .}

1001,101 = 12³ + 02² + 02¹ + 12⁰ + 12^-1 + 02^-2 + 12^-3 =

=8 +1 + 1/2 + 1/8 = 9,625_{(10) .}

Однако применение этого алгоритма в случае k₁ > k₂ связано с громоздкими вычислениями, например, Х₍₁₀₎ = 36 переведем в Х_{(2) .}

36₍₁₀₎ = 310¹ + 610⁰ = (0011)(1010)¹ + (0110)(1010)⁰ = 100100_{(2) .}

Поэтому для перевода числа из 10 СС в 2 СС при k₁ > k₂ целую и дробную часть переводят отдельно по упрощенным алгоритмам. Для перевода це­лой части числа X_(k1) отделяют у него целую часть Х^ц _(k1) и делят его на основание k₂ в k₁-ой СС. В результате деления получают остаток О₀ и ча­стное Ч₁. Если частное Ч₁  k₂, его делят вновь Ч₁/k₂. Получают остаток О₁ и частное Ч₂. Деление частного продолжают до тех пор, пока на i-ом шаге не будет получен остаток О_i-1 и частное Ч_i < k₂. Последнее частное прини­мается за цифру х_i, а цифры x_i-1, …, x₀ определяются соответствующими остатками О_i-1, …, О₁, О₀. Располагая цифры в порядке Ч_i О_i-1 … О₀, полу­чают целую часть числа Х_(k2).

Для определения дробной части числа Х_(k2) берут дробную часть Х^д _(k1) числа Х_(k1) и умножают ее на основание k₂ по правилам k₁ СС. В результате первого умножения получают целую часть произведения Ц₁ и дробную часть D₁. На втором шаге вновь берут дробную часть 0, D₁ и умножают на основание k₂. Умножение дробных частей продолжают до n-го шага Ц_n, D_n, пока не будет достигнута необходимая точность представления дроби. Приравнивая x_-i = Ц_i получают значение дроби Х^д _(k2) =, x_-1 x_-2 … x_-n. Рассмотрим алгоритм раздельного перевода целой и дробной части числа на примере. Пусть Х₍₁₀₎ = 20,4 необходимо перевести в двоичную СС. То­гда процесс перевода числа можно показать как деление (слева) и умножение (справа) по шагам:

1)		20	2
		20	10 = Ч1			0,4  2 = 0,8 (Ц 1 = 0);
		О0 = 0
2)	10/2 = 5 (Ч2 = 5, О1 = 0)					0,8  2 = 1,6 (Ц 2 = 1);
3)	5/2 = 2 (Ч3 = 2, О2 = 1)					0,6  2 = 1,2 (Ц 3 = 1);
4)	2/2 = 1 (Ч4 = 1, О3 = 0)					0,2  2 = 0,4 (Ц 4 = 0).

При переводе дробной части числа 20,4 умножение может быть продол­жено на любое число шагов, т. к. величину 0,4₍₁₀₎ нельзя точно представить в 2 СС. Ограничиваясь числом шагов, получим

Х^ц _(k2)= х₄ х₃ х₂ х₁ х₀, = Ч₄ О₃ О₂ О₁ О₀, = 10100,

Х^д _(k2)=, х _-1 х _-2 х _-3 х _-4 =, Ц ₁ Ц ₂ Ц ₃ Ц ₄ =, 0110 …

20,4₍₁₀₎  10100,0110₍₂₎

Учитывая, что основания четверичной, восьмеричной, шестнадцате- ричной СС кратны основанию двоичной, перевод чисел из этих СС в двоичную и обратно упрощен. Для перевода чисел из четверичной, восьмеричной, шестнадцатеричной СС в двоичную СС цифры в этих числах заменяются двумя, тремя, четырьмя разрядными двоичными эквивалентами слева и справа от запятой

123,02(4) =	1	2	3,	0	2(4)	= 11011,001 (2)
	01	10	11,	00	10(2)
621,34(8) =	6	2	1,	3	4	= 110010001,0111(2)
	110	010	001,	011	100
9Е,1D(16) =	9	E,	1	D		= 10011110,00011101(2).
	1001	1110,	0001	1101

При переводе из двоичной СС в четверичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС цифры двоичной системы соответ­ственно объединяются в группы по две, три, четыре цифры слева и справа от запятой, а затем эти группы заменяются на эквивалентные цифры четверичной, восьмеричной, шестнадцатеричной СС. Например, число 1101101011,11₍₂₎ будет преобразовано

3	1	2	2	3,	3	= 31223,3(4);
11	01	10	10	11,	11
1	5	5	3,	6		= 1553,6(8);
001	101	101	011,	110
3	6	В,	С	0		= 36В,С(16).
0011	0110	1011,	1100	0000