Лекции по начертательной геометрии
.pdf
Рис. 8.9
Прямая n перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция точек пересечения будет совпадать с фронтальной проекцией прямой n′′. Проведем на фронтальной плоскости проекций секущую плоскость β , проходящую через данную прямую и вершину конуса S. В этом случае конус будет пересекаться плоскостью по прямолинейным образующим S-1 и S-2.
В сечении получается треугольник, одна вершина которого совпадает с вершиной конуса S , а две другие располагаются на его основании.
С помощью линии связи находим горизонтальные проекции точек 1′ и 2′ на пересечении образующих с основанием конуса. Полученный треугольник S-1-2 и прямая n лежат в одной секущей плоскости − β . Отмечаем горизонтальные проекции точек пересечения K′ и L′ образующих S′-1′ и S′-2′ с проекцией прямой n′ и определяем видимость этой прямой.
8.3.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ И ПРЯМОЙ
Определим точки пересечения прямой с поверхностью сферы (рис. 8. 10).
Прямая l расположена параллельно фронтальной плоскости проекций, поэтому выбираем в качестве секущей плоскости вспомогательную плоскость α , проходящую через прямую l и параллельную фронтальной плоскости проекций. Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса R, которая на фронтальной плоскости проекций изобразится , без искажений.
Рис. 8.10
На пересечении этой окружности и проекции прямой l′′ отмечаем точки 1′′ и 2′′, которые являются точками пересечения прямой l со сферой. Затем проецируем полученные точки на горизонтальную проекцию прямой l′ и определяем видимость этой прямой на обеих проекциях.
8.4.РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
8.4.1.РАЗВЕРТКА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для получения приближенной развертки цилиндрической поверхности последнюю заменяют вписанной в нее поверхностью призмы. Развертывание полученной призматической поверхности может быть выполнено, например, способом нормального сечения. При достаточно большом числе граней и малых размерах ребер оснований погрешность, получаемая при замене цилиндрической поверхности призматической поверхностью, не имеет практического значения.
На рис. 8.11, а приведена цилиндрическая поверхность (далее для краткости будем называть просто цилиндр), усеченная с двух сторон наклонными плоскостями. Ось поверхности перпендикулярна фронтальной плоскости проекций.
а
б
Рис. 8.11
Пересечем поверхность цилиндра вспомогательной плоскостью γ , перпендикулярной к оси цилиндра, и построим натуральный вид сечения поверхности цилиндра плоскостью γ , совместив плоскость сечения с фронтальной проекцией цилиндра (рис. 8.11, а). Разделим окружность сечения на двенадцать равных частей и, отметив полученные точки деления на профильной проекции (1''', 2''', 3''', …, 12'''), проведем через них проекции образующих цилиндра. Эти образующие примем за ребра призмы, вписанной в цилиндр, и при построении развертки заменим (приближенно) боковую поверхность цилиндра боковой поверхностью полученной призмы. Для этого построим (рис. 8.11, б) развернутый периметр 1-2-3 … 12-1 многоугольника, образовавшегося в сечении поверхности призмы плоскостью γ , и вычертим относительно этой линии натуральную величину каждого ребра призмы; концы этих ребер соединим плавными кривыми линиями.
8.4.2. РАЗВЕРТКА КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Приближенная развертка конической поверхности может быть получена, если заменить эту поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды (с достаточно большим числом боковых граней) и принять развертку поверхности пирамиды за искомую развертку заданной конической поверхности.
Выполним развертку прямого кругового конуса, усеченного фронтально-проецирующей плоскостью α (рис. 8.12).
Рис. 8.12
Известно, что фигура развертки боковой поверхности полного конуса представляет собой круговой сектор; угол ϕ , составленный радиусами, ограничивающими этот сектор, определяется из выражения:
ϕ = 360о R/l,
где R − радиус окружности основания конуса, l − образующая конуса. Зная ϕ , можно определить (рис. 273) длину хорды (1−1), стягивающей дугу сектора:
(1-С) = 1/2 (1-1) = l* sin ϕ /2; |
(1-1) = 2l * sin ϕ /2 |
Для построения развертки боковой поверхности полного конуса вычертим хорду (1-1) и построим на ней равнобедренный треугольник 1-S-1, определив тем самым положение точки S. После этого вычертим дугу (1-1) и разделим ее на равные части 1-2, 2-3, 3-4, … в соответствии с числом частей, на которое разделена окружность основания конуса.
Чтобы вычертить на полученной развертке очертание развернутой линии сечения MKNLM, определим на рис. 8.12 натуральную величину каждого из отрезков, отсеченных секущей плоскостью от образующих S-1, S-2, S-3, …, пользуясь способом вращения вокруг высоты конуса, получим SM = S''M'', S''K'' = S''K'' и т.д. Соединив плавной кривой линией точки M, K, N, L, M, получим развертку (рис. 8.13) боковой поверхности усеченного конуса.
Рис. 8. 13
Контрольные вопросы
1.Как строится линия сечения поверхности плоскостью?
2.Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового цилиндра?
3.Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового конуса?
4.Какие линии могут быть получены в сечении сферы?
5.Каков общий принцип построения точек пересечения прямой с поверхностью?
Контрольные вопросы и задания
1.Какова классификация линий?
2.Как построить проекции окружности в плоскостях общего и частного положения?
3.Какие кривые линии вы знаете?
5.Каковы основные принципы образования поверхности?
6.Расскажите о классификации поверхностей.
7.Что такое определитель поверхности?
8.Как образуются линейчатые поверхности, поверхности вращения?
9.Какие поверхности вы знаете?
ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду, что проекции линий пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей. При пересечении гранных поверхностей в общем случае получается пространственная ломаная линия.
Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по отдельным точкам. При этом требуется выполнить условие инцидентности (взаимопринадлежности) точек и поверхностей. Для чего необходимо и достаточно, чтобы эти точки принадлежали линиям, находящимся в заданных поверхностях и пересекающимся между собой. Точки пересечения таких линий будут общими для
заданных поверхностей, т.е. точками их пересечения. Такие линии получаются при пересечении |
|
заданных поверхностей вспомогательными поверхностями или плоскостями-посредниками. |
|
В результате можно сформулировать следующий алгоритм построения пересечения двух |
|
поверхностей: |
|
– заданные поверхности, например, α и β (рис. 9.1), пересекают вспомогательной поверхностью γ ; |
|
– строят линии пересечения a и b поверхностей вспомогательной поверхностью γ (a = α ∩γ ; b = β ∩ |
γ ) |
– точки пересечения K и M линии a с линией b принадлежат как α , так и β (a ∩ b = K, M; K, M |
α ; K, |
M β ); |
|
–повторяют предыдущие операции несколько раз, перемещая секущую плоскость;
–строят линию пересечения поверхностей α и β , соединяя полученные точки между собой.
Рис. 9.1
Следует выбирать поверхности-посредники так, чтобы они давали графически простые линии пересечения с заданными поверхностями (например, прямые или окружности).
1
В приведенном выше алгоритм не оговариваются вид, расположение и способ задания поверхностей α и β , поэтому он является обобщенным и пригодным для решения задач по определению линии пересечения любых поверхностей.
В качестве вспомогательных поверхностей при определении линии пересечения обычно используют плоскости и сферы.
9.1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Линия пересечения гранных поверхностей представляет собой одну или несколько замкнутых ломаных линий и определяется с помощью вспомогательных секущих плоскостей двумя способами.
1.находят линии пересечения граней одного тела с гранями другого, т.е. сводят задачу к нахождению линии пересечения двух плоскостей;
2.находят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. При этом задача сводится к нахождению точек встречи прямой и плоскости.
Рассмотрим построение линии пересечения прямой и наклонной призм (рис.9.2.1).
Рис. 9.2.1
Прежде, чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что наклонная призма пересекает только боковые грани прямой призмы. Нижнее и верхнее основания последней параллельны горизонтальной плоскости проекций, а боковые грани представляют собой горизонтальнопроецирующие плоскости. Эти особенности расположения призм определяют наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер наклонной призмы с гранями прямой призмы. Находим горизонтальные проекции точек: ребро AA1 пересекает грани прямой призмы в точках 1′ и 4′; ребро BB1– в точках 2′ и 5′; ребро CC1 – в точках 3′ и 6′. Положение точек на фронтальной плоскости проекций определяется по линиям связи, проведенным от соответствующих точек с горизонтальной плоскости проекций. Соединим полученные точки и
получим следующие линии: в грани ABA1B1–– линии 1-2 и 4-5, в грани ACA1C1 – линии 1-3 и 4-6, в грани BCB1C1 – линии 2-3 и 5-6. В завершении определяем видимость линии пересечения, изображая
невидимую часть штриховой линией.
2
Рассмотрим построение линии пересечения трехгранных призмы и пирамиды, представленных на рис. 9.2.
Через какое-либо ребро многогранника проводим проецирующую плоскость. Например, α′′ проводим через ребро AA1 трехгранной призмы. В проекции на П1 сечение пирамиды представится в виде треугольника (на рис. 9.2 заштрихованного), стороны которого пересекают проекцию A′A′1 точках 1′ 1′1, являющихся проекциями точек пересечения 1 и 11 ребра AA1 призмы с гранями ESD и DSF пирамиды. Затем эти точки проецируем на П2. Проведя подобные операции с другими ребрами призмы, получим остальные точки встречи ребер призмы и граней пирамиды (2, 21 и 3, 31). Поскольку точки 1, 2 и 3 лежат на одной грани ESD пирамиды, соединим их между собой с учетом видимости ломаной, являющейся одной из двух замкнутых линий, на которые распадается линия пересечения двух многогранников. Другая замкнутая линия проходит через две грани, поэтому для ее проведения необходимо предварительно определить точки пересечения ребра SF пирамиды с гранями AA1CC1 и BB1CC1 призмы. С этой целью через SF проведем фронтально проецирующую плоскость β′′ .
Рис. 9.2
Горизонтальной проекцией сечения призмы этой плоскостью будет треугольник (на рис. 9.2 заштрихован), стороны которого пересекают ребро в точках 4′ и 4′1. Полученные точки представляют собой горизонтальные проекции искомых точек встречи 4 и 41. Последовательно соединяем между собой точки 11, 21, 41, 31 и 4 с учетом видимости. В результате получим две проекции другой ломаной линии.
3
9.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГРАННОЙ И КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Для построения линии пересечения используются рассмотренные ранее способы построения линии пересечения криволинейной поверхности с плоскостями (гранями многогранника) и с прямыми (ребрами многогранника). Каждая из граней заданного многогранника является плоскостью общего положения, которая пересекает криволинейную поверхность по эллиптической кривой.
Рассмотрим построение линии пересечения треугольной призмы и прямого кругового конуса
(рис. 9.3).
Рис. 9.3
Все грани призмы представляют собой фронтально-проецирующие плоскости, вследствие чего все горизонтальные проекции точек пересечения будут находиться на сторонах треугольника A′B′C′. В качестве вспомогательных плоскостей здесь удобно использовать горизонтальные плоскости уровня.
4
Линия сечения призмы представляет собой треугольник, а конуса − окружность (на разной высоте окружности будут иметь разные радиусы). Точками линии пересечения двух поверхностей являются точки пересечения окружности и треугольника.
Выберем произвольную секущую плоскость γ 1′′. Радиус окружности сечения конуса определится фронтальной проекцией 1′′ точки пересечения 1 секущей плоскости с образующей конуса. Проведя на плоскости проекций П1 окружность радиуса S′1′ до пересечения со стороной A′C′ треугольника A′B′C′, получим горизонтальную проекцию 2′ точки пересечения двух поверхностей 2. Проецируя точку 2 на секущую плоскость γ 1′′, получим ее фронтальную проекцию 2′′.
Повторяем проделанную операцию необходимое число раз. В результате на фронтальной плоскости проекций получим ряд точек. Соединяя их в определенной последовательности, получим фронтальную проекцию линии пересечения первой грани призмы с поверхностью конуса. Следует помнить, что в данном случае ее горизонтальная проекция будет лежать на прямой A′C′, поскольку поверхность призмы является горизонтально-проецирующей.
При построении линии пересечения особое внимание следует обращать на определение положения опорных точек (граничные точки, точки видимости и т.д.). Самая верхняя точка D′′ фронтальной проекции линии пересечения будет располагаться ближе всех остальных к оси вращения конуса. Для ее определения на плоскости П1 проводится окружность, касательная к горизонтальной проекции A′C′ грани призмы, а из вершины конуса проводится перпендикуляр S′D′ к стороне A′C′. Высоту расположения точки D на фронтальной плоскости проекций определим спроецировав касательную окружность на фронтальную проекцию конуса. Точка видимости E лежит на пересечении очерковой (крайней) образующей конуса с гранью призмы. Горизонтальная проекция E′ этой точки определяется из чертежа, а фронтальная – E′′ лежит на пересечении линии связи, проведенной из E′, с очерковой образующей. Ниже этой точки линия пересечения переходит на невидимую со стороны наблюдателя часть поверхности конуса. Положение опорных точек A, B и С очевидно из чертежа.
Линия пересечения поверхностей двух фигур распадается на три части по числу граней пирамиды. Две ее части, лежащие на передних гранях, симметричны. Третья представляет собой гиперболу и лежит на невидимой стороне конуса. При ее построении можно использовать проведенные
ранее плоскости-посредники. Определение верхней опорной точки F′′ аналогично определению точки
D′′.
9.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Метод построения линий пересечения поверхностей тел заключается в проведении вспомогательных секущих плоскостей и нахождении отдельных точек линий пересечения данных поверхностей в этих плоскостях.
Построение линии пересечения поверхностей тел начинают с нахождения характерных точек, например, верхней и нижней, крайних справа и слева, либо отделяющих видимую часть линии от невидимой и т.д. Все остальные точки пересечения называются промежуточными.
В качестве вспомогательных плоскостей выбирают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям – прямым или окружностям, причем окружности должны располагаться в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.
Рассмотрим построение линии пересечения двух цилиндрических поверхностей. Пусть оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются между собой (рис.9.3.1).
5