Лекции по начертательной геометрии

ЛЕКЦИЯ 2

(ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ»)

2.3.ПЛОСКОСТЬ

2.3.1.ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Любую плоскость определяют (рис. 2.14):

а) три точки, не лежащие на одной прямой (A,B,C);

б) прямая и точка, не лежащая на этой прямой (a, D, D a); в) две пересекающиеся прямые (a ∩ b);

г) две параллельные прямые (a || b);

д) любая плоская фигура, например треугольник (A, B, C).

Рис. 2.14

На комплексном чертеже проекции плоскости задаются, но не ограничиваются проекциями элементов, ее определяющих.

Плоскость, не перпендикулярную ни одной из основных плоскостей проекций,

называют плоскостью общего положения.

Плоскости, перпендикулярные или параллельные основным плоскостям проекций,

называют плоскостями частного положения.

Плоскость, перпендикулярную одной из плоскостей проекций, называют проецирующей. Обычно проецирующие плоскости обозначаются греческими буквами α β ,γ . Различают горизонтально, фронтально и профильно проецирующие плоскости.

На комплексном чертеже одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в прямую линию. Такая плоскость может быть задана одной своей вырожденной проекцией. На рис. 2.15 в качестве примера представлены горизонтально (a), фронтально (б) и профильно (в)

проецирующие плоскости, заданные соответственно двумя параллельными прямыми, треугольником, точкой и прямой.

Рис. 2.15

Плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций, называют плоскостью уровня. Такая плоскость − дважды проецирующая, поэтому на комплексном чертеже ее две проекции вырождены и имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линии связи, а третья проекция дает изображение всех элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину. На рис. 2.16 а, б, в изображены соответственно: γ –

горизонтальная, δ − фронтальная и ε − профильная плоскости уровня, заданные соответственно точкой (она однозначно определяет положение плоскости уровня), треугольником, прямой и точкой.

Рис. 2.16

2.3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Известно, что прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости (рис. 2.17). Это положение записывается так:

1 AB; 2 BC m(1,2) α (A,B,C).

Рис. 2.17

В любой плоскости можно построить прямые, параллельные плоскостям проекций. Их называют линиями уровня плоскостей.

Линию уровня можно представить как линию пересечения данной плоскости с соответствующей плоскостью уровня.

Горизонталь плоскости h − это линия плоскости, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.18, а). Построение горизонтали начинают с ее фронтальной проекции, которая параллельна оси проекций: h(A,l) α (A, B. C); A'' h''; h'' A''A'; h'' ∩ B''C'' = l''; l''l' || A''A'; l''l' ∩ B'C' = l'; A'l' h'.

Фронталь плоскости f (рис. 2.18, б) параллельна П2. Построение ее аналогично построению горизонтали плоскости, а начинают его с горизонтальной проекции f ', которая параллельна оси проекций.

Для плоскостей частного положения соответствующие линии уровня одновременно будут и проецирующими. Так, на рис. 2.19 изображена фронтально проецирующая плоскость α , горизонталь которой h является фронтально проецирующей прямой. Их фронтальные проекции α '' и h'' вырождены в прямую и в точку.

2.3.3.СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ

Вплоскости можно провести бесчисленное множество горизонталей и фронталей. Все они параллельны друг другу. Линии уровня, лежащие в плоскостях проекций (линии нулевого уровня), называются следами плоскости, поскольку представляют собой линии ее пересечения с плоскостями проекций.

На рис. 2.20 представлены пространственная модель (рис. 2.20, а) и комплексный

чертеж (рис. 2.20, б) плоскости α (a ∩ b), а также построены ее следы h0 и f0.

Для построения следов плоскости используют следы прямых ее образующих (см. раздел 2.2.1 рис. 2.4 и 2.5). Горизонтальный след плоскости проводят через два горизонтальных следа прямых, а фронтальный − через два фронтальных. Оба следа плоскости имеют общую точку схода О (см. рис. 2.20), лежащую на оси x. Поскольку одна из проекций следа прямой лежит на оси проекций, построение начинают с нее.

Рис. 2.20

Продолжая проекцию прямой, например b”, до пересечения с осью x, получим фронтальную проекцию D” горизонтального следа D прямой b. Далее из D” проводим линию связи до пересечения с b’, в результате чего определяем горизонтальную проекцию следа, совпадающую с самим горизонтальным следом D. Подобным образом получим фронтальный след C прямой b: C’ = b’ ∩ x12; C’C” x12; C’C” ∩ b” = C”. C”2 C.

Делая аналогичные построения, определяют горизонтальный B и фронтальный A следы прямых a и b.

Для построения горизонтали плоскости, заданной следами (рис. 2.21, а), проводят фронтальную проекцию горизонтали h” (рис. 2.21, б) до пересечения с фронтальным следом плоскости в точке M”.

Рис. 2.21

Горизонтальная проекция M’ точки M лежит на оси x h2“. Поскольку все горизонтали плоскости параллельны, то h’ || h0’ и проходит через точку M’. Аналогично строят проекции f’ и f” фронтали.

Определение 1: Прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости.

Определение 2: Прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку (см. рис. 2.21).

Как следствие из этого определения вытекает: у параллельных плоскостей следы попарно параллельны (рис. 3.7).

Пример: Заданы плоскость α двумя параллельными прямыми l и m, и точка A в пространстве. Провести через эту точку плоскость, параллельную заданной (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Решение:

1.Через точку A проводим прямую k, параллельную прямым l и m, задающим плоскость

α .

2.Для того, чтобы получить вторую прямую, проводим в плоскости α вспомогательную прямую 1−2. Затем проводим через точку A прямую n, параллельную прямой 1−2. Так как прямые попарно параллельны, то и плоскости, которые они задают, также будут параллельны.

Контрольные вопросы и задания

1.Что называют следами плоскости?

2.Как определить видимость элементов пространства относительно данной плоскости проекций с помощью конкурирующих точек?

3.Покажите на примерах способы задания плоскости общего положения.

4.Покажите на примерах плоскости частного положения и назовите их.

5.Покажите на примерах особенности проецирующих плоскостей.

6.Покажите на примерах, как строят точки и линии в плоскости общего положения.

7.Покажите, как построить в плоскости общего положения горизонталь и фронталь.

8.Покажите, как построить в проецирующих плоскостях горизонтали и фронтали.

9.Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую общего положения?

10.Покажите на примерах построение прямой и плоскости, параллельных плоскости общего положения.

11.Приведите примеры построения прямой линии, перпендикулярной проецирующей плоскости.

12.Как построить на чертеже плоскость, параллельную другой плоскости?

ЛЕКЦИЯ 3.

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Позиционными называют задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических фигур. Обычно в этих задачах определяется взаимная принадлежность фигур или строится линия (точки) взаимного пересечения.

Задачи на взаимную принадлежность решаются на основании таких свойств проецирования как: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит линии плоскости; прямая линия принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости, и т.д.

Задачи на взаимное пересечение связаны с построением точек, принадлежащих одновременно двум рассматриваемым геометрическим образам (прямой и плоскости, двум плоскостям, плоскости и поверхности и т.д.).

3.1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Для определения точки пересечения прямой m с плоскостью α (A,B,C) выполняют следующие операции.

1.Через прямую m проводят проецирующую плоскость β (рис. 3.1). В данном примере проводят горизонтально проецирующую плоскость β′ .

2.Определяют линию n пересечения плоскости β с плоскостью α (ABC). На рис. 3.1 горизонтальная проекция этой линии n′ совпадает с m′ по построению, а фронтальная n′′ − определяется проецированием точек 1′ и 2′ на фронтальные проекции A′′B′′ и B′′C′′ сторон треугольника ABC.

Рис. 3.1

3. Находят точку K пересечения прямой m с плоскостью α . Фронтальная проекция n′′ линии пересечения n пересекает m′′ в точке K′′. Поскольку n лежит в плоскости α , то K принадлежит как плоскости α , так и прямой m, т.е. является точкой их пересечения. Ее горизонтальная проекция K′ определяется проецированием K′′ на m′.

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на AC, а 3 − на m. Их фронтальные проекции 2′′ и 3′′ показывают, что точка 2 находится ниже точки 3 и поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция 2′ точки 2 будет

закрыта проекцией 3′ точки 3. Отсюда следует, что проекция A′C′ стороны AC расположена ниже проекции m′ и участок этой прямой с левой стороны до K′ будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально конкурирующх точек 4 и 5. Как показывают горизонтальные проекции этих точек 4′ и 5′, точка 4 лежит ближе к наблюдателю, чем точка 5, но поскольку последняя принадлежит прямой m, то участок ее фронтальной проекции 5′′K′′ невидим.

На рис. 3.1.1 дан пример построения точки пересечения прямой AB с плоскостью общего положения α , заданной следами.

В данном случае через прямую AB проведена горизонтально-проецирующая плоскость β . На горизонтальной плоскости проекций линия пересечения плоскостей MN совпадает с горизонтальным следом этой плоскости. Построив фронтальную проекцию прямой M”N” находим фронтальную проекцию точки пересечения ее с прямой AB − K”, после чего по линии связи находим горизонтальную проекцию точки K’. В завершении определяем видимость примой AB относительно точки пересечения.

3.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости, например ее горизонтали и фронтали. Построение перпендикуляра начинают с построения горизонтали и фронтали плоскости (см. рис. 2.18). Затем к этим прямым проводят перпендикуляр так, как это сделано на рис. 2.13.

Прямая n (рис. 3.2) перпендикулярна плоскости α (ABC), так как n h и n f (на основании свойства 8 ортогонального проецирования − см. раздел 1.2.).

Рис. 3.2

При построении на комплексном чертеже перпендикуляра к плоскости нужно иметь в виду следующее: если n α (h ∩ f), то фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а его горизонтальная проекция − горизонтальной проекции горизонтали (n’ h’; n” f”). Действительно и обратное утверждение.

Следует отметить, что полученная таким образом точка пересечения перпендикуляра с фронталью и горизонталью не является точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью. Эта точка находится с помощью дополнительных построений (секущих плоскостей), подобно тому, как это было рассмотрено в предыдущем подразделе.

Приведенное решение используется при определении расстояния от точки до плоскости и до других более сложных поверхностей.

Пример: Определить расстояние от точки С до прямой AB (рис. П3.1).

Решение: Расстояние от точки до прямой измеряется натуральной величиной отрезка перпендикуляра, опущенного на нее из этой точки.. Поскольку данная прямая − горизонталь, то в соответствии со свойством 8 проецирования прямого угла горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали. Проводим перпендикуляр из C’ к A’B’, затем строим на его горизонтальной проекции вспомогательный прямоугольный треугольник для определения натуральной величины отрезка перпендикуляра

CK.

Рис. П3.1

3.3. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Поэтому построение перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Пример 1:Провести через прямую плоскость, перпендикулярную другой плоскости.

Решение:

На рис. 3.3 рассмотрена задача по проведению через прямую a плоскости γ (a ∩ n), перпендикулярной плоскости α (ABC). Задача сводится к предыдущей, если на прямой a задать точку D и провести через нее перпендикуляр n к плоскости α . Поскольку плоскость γ образована двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна α , то, как известно, плоскость, содержащая перпендикуляр к другой плоскости, сама перпендикулярна этой плоскости.