- •Тема 3.
- •Математическая модель электрической цепи.
- •Матрица главных сечений и ее свойства.
- •Матрица главных сечений произвольной схемы.
- •Система уравнений для цепи по зкт
- •Получение матрицы главных сечений .
- •← Вектор-столбец состояния схемы
- •Математическая модель цепи с нелинейными реактивными элементами.
Тема 3.
Математическая модель электрической цепи.
-
Матрица главных сечений и ее свойства.
Возьмем граф некоторой цепи (рис. 2а).
Совокупность ветвей графа, в которой оказываются представленными все узлы, но при этом не образуется ни одного замкнутого контура, называют деревом графа. На рис. 2б, в представлены два варианта деревьев графа, построенные из графа цепи на рис. 2а (можно построить и другие варианты дерева). Ветви, входящие в выбранное дерево называются ребрами. Ветви, не вошедшие в выбранное дерево, называются хордами. Таким образом, каждая ветвь графа является либо его ребром, либо хордой. Замкнутая линия, которая однократно пересекает некоторую совокупность ветвей графа и разделяет граф на две несвязанные части называется сечением. Если такая линия пересекает одно ребро, то сечение считается главным. На рис. 3 показан пример построения главных сечений.
Здесь главным сечениям присвоены номера тех ребер, которые входят в эти сечения.
Обычно ЗКТ формулируется относительно узлов, но его можно формулировать и относительно главных сечений. ЗКТ для сечений звучит так: алгебраическая сумма токов относительно главного сечения равна нулю.
Придерживаясь такой формулировки ЗКТ, получаем следующую систему уравнений для главных сечений, показанных на рис. 3.
і1+і5+і6=і9 или і1=-і5-і6+і9
(для главного сечения С1).
і2=і5 (для главного сечения С2);
і3=і6-і8-і9 (для главного сечения С3);
і4=і5+і8 (для главного сечения С4);
і7=-і8-і9 (для главного сечения С7).
Запишем эту систему уравнений в матричной форме:
можно подобную систему уравнений представить в общем виде, справедливом для произвольной схемы.
М
хорды
И з матрицы вытекает не только система уравнений по ЗКТ, но и система уравнений по ЗКН. Элементы столбцов матрицы являются коэффициентами, линейно связывающими напряжение хорд, соответствующих столбцов, с напряжением ребер. Так, для указанной выше матрицы можно записать следующую систему уравнений для ЗКН:
U5=U1-U2-U4
U6=U1-U3
U8=U3-U4+U7
В матричной форме эту систему уравнений можно записать так
где - вектор напряжения хорд;
- транспонированная матрица ;
- вектор напряжения ребер.
Таким образом, матрица главных сечений определяет полную систему топологических уравнений.
-
Матрица главных сечений произвольной схемы.
В матрице главных сечений, как уже отмечалось, столбцы принадлежат хордам, а строки – ребрам дерева графов. При построении дерева графов обычно в ребрах группируют:
- источники напряжений;
- конденсаторы;
- резисторы.
В хордах, как правило, остаются:
- резисторы;
- индуктивности;
- источники токов.
Возьмем обобщенную матрицу главных сечений и выделим в ней столбцы и строки, принадлежащие конкретным элементам
Здесь Rx и Rp - резисторы, включенные соответственно в хорды и ребра.
Учитывая такое обозначение, можно матрицу разбить на подматрицы.
Индексы у подматриц указывают типы ветвей, которым принадлежат строки и столбцы подматрицы.
Сформулированное выше правило построения уравнений токов и напряжений с использованием матрицы можно распространить и на случай, когда эта матрица представлена подматрицами.
Подматрицы, расположенные вдоль строки и взятые с обратным знаком, являются коэффициентами, связывающими вектор тока группы ребер, которой принадлежит строка, с вектором тока соответствующих групп хорд. Например,
Подматрицы, расположенные вдоль столбца некоторой группы однотипных хорд, после транспонирования являются коэффициентами, линейно связывающими вектор напряжения этих хорд с векторами напряжения соответствующих групп ребер. Например,
-
Формирование матрицы главных сечений.
Формирование матрицы производится в два этапа. На первом этапе по введенным в ЭВМ данным цепи формируется матрица инциденций, а из нее – структурная матрица. На втором этапе путем преобразований из структурной матрицы строят матрицу .
-
Формирование структурной матрицы.
Рассмотрим построение структурной матрицы на примере графа цепи, представленного на рис. 2а. Составим матрицу следующего вида. Припишем столбцы матрицы определенным ветвям графа, а строки – его узлам. Дадим элементам alk этой матрицы следующие значения:
если k-я ветвь графа не
подключена к l-му
узлу;
если k-я ветвь подключена
к l-му узлу и направление
от него;
если k-я ветвь подключена
к l-му узлу и направление
к нему.
l – номера узлов
k – номера ветвей
При нумерации ветвей придерживаются следующей иерархии: управляемые источники напряжения, независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока. Нумерация начинается с ветвей, принадлежащих высшей ступени иерархии. Исчерпав их продолжают нумерацию, перейдя к ветвям следующей ступени иерархии и т.д., пока не будут пронумерованы все ветви схемы. Именно так были пронумерованы ветви в графе на рис. 2а.
Для этого графа построим следующую матрицу:
Каждая l-я строка такой матрицы показывает, какие ветви подключены к l-му узлу и каково их направление относительно узла, а каждый k-й столбец указывает, с какими узлами соединена k-я ветвь.
Следует отметить, что одна из строк матрицы не является независимой, она не несет информации и может быть без последствий изъята из матрицы.
Вычеркнув в последнюю строку, получаем
Эту матрицу называют структурной и она дает топологическое описание цепи.
Так как строки матрицы указывают ветви, подключенные к соответствующим узлам, и их направление относительно узлов, то умножая строки матрицы на вектор токов ветвей , получаем алгебраическую сумму токов в узлах, равную нулю (в соответствии с ЗКТ). Следовательно
Эта матричная запись соответствует следующей системе уравнений