Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
28
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
515.58 Кб
Скачать

Лабораторная работа №1

Тема: Безусловная одномерная оптимизация

Цель работы: знакомство с оптимизационными задачами, изучение различных методов одномерной оптимизации и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций.

1. Краткие теоретические сведения

1.1 Постановка задачи одномерной безусловной

оптимизации

Поиск экстремума функции одной переменной имеет самостоятельный интерес, так как является составной частью многих методов многомерной оптимизации. От правильной организации одномерного поиска существенно зависит успех решения всей задачи. Кроме того, одномерная оптимизация, будучи простой по формулировке задачей, позволяет легко войти в общую проблематику оптимизационных задач.

Далее, для конкретности, мы будем рассматривать задачу оптимизации на примере задачи минимизации в силу эквивалентности двух типов оптимизационных задач (максимизации и минимизации). Задача поиска минимума целевой функции формулируется в виде:

x*=arg min f(x), xX,

где X – множество допустимых точек, среди которых ищется точка x*, доставляющая минимум f(x) целевой функции.

Другая распространенная запись задачи минимизации

.

Когда X=R, мы имеем дело с одномерной безусловной задачей минимизации, т.е. когда целевая функция f(x) имеет только один простой аргумент и область X есть вся вещественная ось чисел.

В методах одномерной оптимизации вместо X=R рассматривается отрезок X=[a,b], содержащей искомое решение x*. Такой отрезок называется отрезком неопределенности, или отрезком локализации. Относительно целевой функции f(x) часто предполагается, что она унимодальная.

Определение: Функция f(x) называется унимодальной на X=[a,b], если существует такая точка x*X, что

f(x1)>f(x2), если x1<x2<x*, x1,x2X,

f(x1)<f(x2), если x*<x1,x2, x1,x2X.

Если ограничиваться рассмотрением лишь непрерывных функций f(x), то свойство унимодальности функции попросту означает наличие у нее единственного локального минимума и этот минимум достигается в точке x=x*.

В ряде методов относительно целевой функции f(x) предполагается, что она выпуклая на X.

Определение: Функция f(x) называется выпуклой на x=[a,b],

если f(x1+(1-)x2)f(x1)+(1-)f(x2)

при любых x1,x2,X и всех , 01.

Если при любых x1,x2,X неравенство будет строгим, то функция f(X)называется строго выпуклой.

Непрерывная строго выпуклая функция является унимодальной. Однако не всякая унимодальная функция является выпуклой или непрерывной.

1.2 Алгоритм пассивного поиска минимума

Отрезок [a,b] исходный отрезок неопределенности. Пусть N - число точек, в которых необходимо провести вычисления целевой функции f(x), т.е. N экспериментов. Точки, в которых необходимо провести эксперименты, определяются следующим образом:

Среди вычисленных значений {f(xi)} (i=1,N), ищется точка xj , в которой достигается минимум:

f(xj)= min f()

1iN

Найденная точка принимается за приближенное решение задачи . Исходный отрезок неопределенности[a,b] после экспериментов в N точках сужается до [xj-1,xj+1], длина которого равна:

Точность найденного решения равна половине отрезка неопределенности, т.е., гдеиx* - точное решение.

Соседние файлы в папке 1.а,д