1) Комплексные числа и операции над ними

Ко́мпле́ксные  чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени   с комплексными коэффициентами имеет ровно   комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии,квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен   имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел  , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена  .

Стандартная модель

Комплексное число   можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел  . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида  , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой   единица —   а мнимая единица —   На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен  , то есть 

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Действия над комплексными числами

-Сравнение

 означает, что   и   (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

-Сложение

-Вычитание

-Умножение

-Деление

2) Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Формула квадратных корней из комплексного числа.

   В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:

             обозначим  .

Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: "сигнум икс".

Теорема. Пусть  . Тогда

(7)       , где квадратныекорни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.

   Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно дваквадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть  , где  . Тогда   или  . Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:

(8)                                 .

   Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы:  . Прибавим второе уравнение к первому: 

  .

Здесь   – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная системаимеет решение, то по обратной теореме Виета   и   являются корнями квадратного уравнения  . Находим дискриминант  . Отсюда  . Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно,  . При выборе корней учитываем равенства (8), а именно  . Отсюда следует, что   и

. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что  . Положим  , тогда  , откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.