Математическая обработка результатов экспериментов
При проведении экспериментов возникают вопросы о нахождении средних измеренных значений и описанию массива замеренных величин в виде графиков зависимостей одного параметра от другого. Измерения всегда производятся с наличием погрешностей. При обработке экспериментов пользуются понятиями статистики. Наиболее простые методы получаются, если замеры получены одним и тем же методом и одним и тем же инструментом.
Очень часто исследуемая величина меняется с изменением условий опыта, и задача обработки измерений заключается в нахождении функциональной зависимости, наиболее адекватно описывающей имеющиеся измерения. Примеров много – определение зависимости свойств тел от температуры, диаметров ступенчатого валика, высоты подскакивания шариков при бросании их с разных высот и т.д. и т.п.
На рис.1 приведена в качестве примера кривая зависимости проникновения пули в глубину материала от энергии пули. Можно соединить замеренные точки ломаной пунктирной линией. Однако из теоретических соображений следует считать, что углубление пули в препятствие прямо пропорционально ее энергии. Надо найти такую прямую, которая максимально точно удовлетворяет замеренным значениям.
Предположим, что мы имеем данные 13 замеров энергии пули -хi и глубины проникновения пули в препятствие - уi .
-
Измерения
хi
уi
1
41
4
2
50
8
3
81
10
4
104
14
5
120
15
6
139
20
7
154
19
8
180
23
9
208
26
10
241
30
11
250
31
12
269
36
13
301
37
Прямая, построенная методом наименьших квадратов.
По этим замерам и строим прямую. Условием соответствия прямой исходным данным является минимальное значение суммы квадратов расстояния по оси ординат от искомой прямой.
Запишем уравнение прямой в виде:
,
где координаты с чертой соответствуют
средним значениям :
Коэффициент прямой а определяется по зависимости:
,
где
Варианты заданий для обработки результатов
Х |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
25 |
27 |
29 |
31 |
Вар |
Значения ординат точек для различных вариантов |
|||||||||||||||
1 |
1,6 |
3,8 |
7,3 |
11 |
13,8 |
17 |
19 |
23 |
26 |
28 |
30 |
35 |
38 |
40 |
45 |
48 |
2 |
0,5 |
1,0 |
2,4 |
4,5 |
7,8 |
12,5 |
17,0 |
23 |
29 |
36,2 |
44,5 |
57,8 |
62,5 |
72,9 |
86,5 |
93,0 |
3 |
0,8 |
1,9 |
3,7 |
5,6 |
6,9 |
8,8 |
9,6 |
11,7 |
12,9 |
13,9 |
16,0 |
18,0 |
18,5 |
19,7 |
23.0 |
24,5 |
4 |
1,3 |
3,6 |
5,8 |
8,5 |
12,0 |
13,1 |
16,0 |
17,3 |
19,4 |
24,1 |
25,0 |
26,8 |
29,7 |
32,0 |
35,8 |
37,0 |
5 |
1,0 |
2.0 |
4.8 |
9,0 |
15,6 |
24,9 |
35,0 |
45,8 |
57,9 |
73,3 |
90,0 |
115,0 |
136, |
145 |
173 |
195 |
6 |
0,4 |
1,0 |
1,85 |
2,9 |
3,5 |
4,35 |
5,0 |
5,7 |
6,8 |
7,0 |
7,95 |
8,85 |
9,3 |
10,0 |
12,5 |
12,8 |
7 |
24,5 |
23,0 |
19,7 |
18,5 |
18,0 |
16,0 |
13,9 |
12,9 |
11,7 |
9,6 |
8,8 |
6,9 |
5,6 |
3,7 |
1,9 |
0,8 |
8 |
2,0 |
4,8 |
9,5 |
13,8 |
17,8 |
22,7 |
24,0 |
29,0 |
33,2 |
35,8 |
37,9 |
42,4 |
47,0 |
49,8 |
56,9 |
60,8 |
9 |
1,4 |
3,3 |
6,7 |
9,6 |
12,6 |
15,0 |
15,9 |
19,8 |
20,8 |
23,9 |
25,5 |
28,1 |
32,5 |
32,6 |
38,8 |
40,3 |
10 |
1,45 |
4,0 |
6,5 |
9,4 |
13,4 |
15,0 |
17,5 |
18,9 |
21,2 |
26,0 |
27,5 |
29,5 |
32,7 |
35,1 |
38,9 |
40,9 |
11 |
1,3 |
2,7 |
6,3 |
11,9 |
21,3 |
32,7 |
46,9 |
60,8 |
76,0 |
95,8 |
117,0 |
148,9 |
182,6 |
194,5 |
231 |
270 |