V. Медианы треугольника

V.1. Теоретическая карта № 5

Рисунок 117.

∆ABC: AA₁ – медиана.

1. А₁В=А₁С.

2.

Рисунок 118.

AA₁, BB₁, CC₁– медианы в ∆ABC

со сторонами a, b, c.

AA₁=m_a, BB₁=m_b, CC₁=m_c .

3. .

.

.

4. AA_1, BB₁, CC₁ – пересекаются в одной

точке О.

5. .

Рисунок 119.

6. S₁= S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆ = ,

где S – площадь ∆АВС.

Рисунок 120.

∆ABC – равнобедренный (АВ=ВС).

AA₁, BB₁, CC₁– медианы в ∆ABC.

7.1. AA₁=CC₁.

7.2. BB₁ – высота, биссектриса.

Рисунок 121.

∆ABC, C=90⁰, CC₁ – медиана.

8. СС₁=

V.2. Доказательства утверждений теоретической карты № 5

1. Равенство следует из определения медианы треугольника.

2 .

Дано: ∆ABC, АА₁ – медиана.

Доказать: .

Доказательство.

Проведем AD^BC.

∆ABA₁: S= ,

∆AA₁C: S= .

Так как А₁В=А₁С (по определению медианы), то .

3.

Дано: ∆ABC, ВС=а, АС=в, АВ=с.

АА₁ – медиана, АА₁=m_{а .}

Доказать: .

Доказательство.

Проведем A₁C₁|| AC.

1) A₁C₁ - средняя линия ∆ABС, .

2) ∆AС₁A₁: АА₁²=А₁С₁²+ АС₁² - 2∙ АС₁∙А₁С₁∙ cos

.

3) ∆АВС: ВС²=АВ²+АС² – 2∙АВ∙AС∙cos

4) Сложим (1) и (2): .

Аналогично выводятся формулы для

5.

Дано: ∆АВС: AF, CK – медианы.

Доказать:

Дополнительное построение.

MN – средняя линия в ∆АОС

Доказательство.

В треугольнике АВС KF – средняя линия (по определению медиан), в треугольнике АОС MN – средняя линия (по построению).

1) По свойству средней линии треугольника KF= 0,5 АС, MN=0,5АС, значит, KF= MN.

2) Аналогично KF||MN.

3) Из (1) и (2) следует, что ∆MON=∆FOK, следовательно, MO=OF, KO=ON. Тогда AM=MO=OF, NC=NO=OK. Таким образом, медианы точкой пересечения О делятся в отношении 2:1

4.

Дано: ∆АВС, AF, CK – медианы.

Доказать: три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Медиана, проведенная из вершины В, также должна делить медиану AF в отношении 2:1. Следовательно, она будет проходить через точку О, то есть все три медианы будут пересекаться в одной точке.

6.

Дано: ∆АВС, АА₁, ВВ₁, СС₁ – медианы.

Доказать: S₁= S₂= S₃= S₄= S₅= S₆.

Доказательство.

1) Докажем, что S₁=S₂.

В ∆АОС ОВ₁ – медиана, тогда по свойству (2)

S₁=S₂.

2) Докажем, что S₁=S₄.

Так как (вертикальные), то S₁=S₄.

Используя доказанные равенства, получим S₁=S₄=S₃=S₆=S₅=S₂.

7.

Дано: ∆АВС, АВ=ВС, АА₁, ВВ₁ – медианы.

Доказать: 1. АА₁= СС₁.

2. ВВ₁ – биссектриса и высота.

Доказательство.

7.1. Равенство АА₁ и СС₁ следует из равенства

треугольников АС₁С и СА₁А.

7.2. Утверждение следует из равенства

треугольников АВВ₁ и СВВ₁.

8.

Дано: ∆АВС, С=90°, СС₁ – медиана.

Доказать: СС₁=

Дополнительное построение.

Проведем С₁Р||BC.

Доказательство.

1) С₁РАС, то есть С₁Р – высота в ∆AС₁C.

2) Точка Р - середина АС (по теореме Фалеса), следовательно, С₁Р – медиана в ∆AС₁C.

3) Из (2) и (3) следует, что ∆AС₁C – равнобедренный: АС₁=СС₁, то есть СС₁=