IV. Биссектриссы углов треугольника

IV.1. Теоретическая карта № 4

Рисунок 91.

ВВ₁ – биссектриса угла В в ∆АВС.

1. ABB₁=B₁BC.

2. BB₁ – геометрическое место точек,

равноудаленных от сторон ABC.

3. .

4.

5. l_b = .

Рисунок 92.

АА₁, ВВ₁ – биссектрисы углов А

и В треугольника АВС.

6. .

7. Три биссектрисы треугольника

пересекаются в одной точке О.

8. Точка О – центр окружности,

вписанной в треугольник АВС.

Рисунок 93.

9. ∆АВС, - внешний,

BD – биссектриса .

IV.2. Доказательства утверждений теоретической карты №4

1. Равенство углов следует из определения биссектрисы угла.

2. Доказательство характеристического свойства точек биссектрисы угла приводится в учебнике [4, c. 169].

3.

Дано: ∆АВС, ВВ₁ – биссектриса угла АВС.

Доказать:

Доказательство.

Первый способ.

Дополнительное построение.

Проведем В₁К || АВ.

1) (по определению биссектрисы угла),

(внутренние накрест лежащие), значит,

. Следовательно, ∆ВВ₁К – равнобедренный: В₁К=ВК.

2)

(1): по свойству пропорциональности отрезков.

(2): согласно пункту 1 доказательства.

(3): из подобия треугольников КВ₁С и ВАС. Таким образом,

Второй способ.

Д ополнительные построения.

Проведём

Пусть

S_∆КВС: 0,5а′∙h=0,5а∙h₂.

S_∆АВК: 0,5с′∙h=0,5с∙h₁.

Так как h₁=h₂ (точка К принадлежит

биссектрисе угла В), то разделив одно

равенство на другое почленно,

получим

4.

Дано: ∆АВС, ВВ₁ – биссектриса угла В.

Доказать:

Дополнительные построения.

Продолжим биссектрису BD до

пересечения с окружностью в точке К.

Проведем КС.

Доказательство.

Пусть DK = x.

1) ∆ADB∆KDC(по двум углам): , то есть , l_Bx=a′c′.

2) ∆ABD∆KBC (по двум углам): , , .

Из (1) и (2):

5.

Дано: ∆АВС, ВВ₁ – биссектриса угла В.

Доказать: .

Доказательство.

:

,

, , .

6.

Дано: ∆АВС, ВВ₁и АА₁ – биссектрисы.

Доказать:

Доказательство.

∆AOB: .

7.8. Доказательство утверждений о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, приводятся в учебнике [4, c. 169, 170] и в учебнике [9, с. 69].

9.

Дано: ∆АВС, – внешний,

ВD – биссектриса .

Доказать:

Дополнительное построение.

Проведем СЕ||BD.

Доказательство.

1) (по свойству пропорциональности отрезков).

2) (как соответственные),

(ВD - биссектриса ), следовательно,

(внутренние накрест лежащие), значит,

Следовательно, ∆ВЕС – равнобедренный: ВЕ=ВС.

3) Заменим в равенстве пункта (1) ВЕ на ВС. Получим .