III.3. Задачи к теоретической карте № 3

№ 1.

1 .	2 .	3 .
4 . В – точка касания Найти: АDВ .	5 .	6 .

Рис. 69

№2. Биссектриса угла В треугольника АВС пресекает описанную окружность в точке D. Доказать, что треугольник АDC равнобедренный.

План доказательства.

1. (доказать).

2. .

3. AD=CD.

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№3. Доказать, что сторона треугольника, лежащая против угла в 30⁰, равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

План доказательства.

1. .

2. Вид .

3.

Используемые факты из теоретической карты:

1.1; 1.2.

№4. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три дуги. Найти градусные меры этих дуг.

П лан решения.

1. BD АС.

2.

3.

4.

Ответ: 40⁰, 40⁰, 100⁰

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№5. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках К и М соответственно. Доказать, что ∆АВС ∆АМК. Найти МК и АМ, если АВ=2, ВС=4, АС=5, АК=1.

План доказательства.

1. Проведем .

2. .

3. 

4.

5.  .

6. МК. 7. АМ. Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2. №6. Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найти углы параллелограмма.

План решения.

1. – ромб

2. – равносторонний.

3. .

4. .

Ответ: 60⁰, 120⁰.

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№7. Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания и пересекает боковые стороны, деля их пополам. Найти меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

План решения.

Дополнительные построения:

проведем АЕ, .

1.

2.  : СD² = 4R(R - ОР).

3. CP = R, PD = R – OP.

4. ∆CPD: OP² + 2R∙OP – 2R² =0, .

5. Трапеция ABCD – равнобедренная. ВС = 2ОР.

Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№8. Высоты остроугольного треугольника продлены до пересечения с описанной окружностью. Доказать, что отрезки этих линий от ортоцентра до окружности делятся соответственными сторонами пополам.

План доказательства.

Точка К – ортоцентр треугольника АВС.

Проведем BN.

1. ∆ВНС:

2. ∆АРС:

3.

4. 5. . 6. КР=PN.

Аналогично доказывается, что .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2.

№9. Окружность разделена точками A, B, C и D так, что Хорды и продолжены до пересечения в точке М. Найти угол АМВ.

План решения.

1.

2.

3. .

Ответ: 72°.

Используемые факты из теоретической карты: 1.3.

№10. На окружности взяты четыре точки. Середины образованных дуг попарно соединены отрезками. Доказать, что среди этих отрезков есть, по крайней мере, два перпендикулярных.

А₁, А₂, А₃, А₄ – произвольно выбранные точки,

С_1, С₂, С₃, С₄ - середины дуг А₁ А₂, А₂ А₃, А₃ А₄, А₁А₄ соответственно.

План доказательства.

1. Выразить через и а затем через дуги

2.

Используемые факты из теоретической карты: 1.4.

№11. В окружность вписан четырехугольник. Его противоположные стороны CD и АВ, ВС и AD продолжены до взаимного пересечения в точках N и F. Доказать, что биссектрисы углов BFA и AND перпендикулярны.

План решения.

1. .

2. .

3. 

4. .

5. .

6. .

7. = =90°.

Используемые факты из теоретической карты:

1.3; 1.4.

№12. Через точку касания двух окружностей проведены две секущие, концы которых соединены хордами. Доказать, что эти хорды параллельны.

План доказательства.

1. .

2. .

3. .

4. CB || DE.

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№13. В треугольнике АВС проведены высоты ВВ₁ и СС₁. Доказать, что касательная в точке А к описанной окружности параллельна прямой В₁С₁.

План решения.

1. АВС=АВ₁С₁.

2. АВС = КАС.

3. АК || C₁D₁.

Используемые факты из теоретической карты: 1.5.

№14. Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD и касается боковой стороны АВ в точке В. Основания трапеции а и b. Найти диагональ BD.

План решения.

1.

2.

3.  .

4. .

5. . Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№15. Из точки С окружности на хорду АВ опущен перпендикуляр CD. Из концов хорды опущены перпендикуляры АЕ и BF на касательную к окружности в точке С. Доказать, что .

План доказательства.

1. 

2. .

3. АЕ.

4.  .

5. . 6. BF. 7. .

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 1.5.

№16. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р?

План решения.

1 . .

2. ∙РТ.

3. ∙ = ∙ (18 – ).

4. ∙РТ= ∙ .

5.

Ответ: 6 и 12. Используемые факты из теоретической карты: 2.1.

№17. АС и ВD – диагонали ромба АВCD. Окружность описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ АС в точке Е. Определить диагонали ромба, если АВ = 20 см, СЕ = 7 см.

План решения.

1. АО²+ОВ²=АВ².

2. АО∙ОЕ=ОВ², АО∙(АО – ЕС) = ОВ².

3. Решить систему уравнений

Ответ: 32 см, 24 см.

Используемые факты из теоретической карты: 2.1.

№ 18. Через точку Р диаметра АВ данной окружности проведена хорда CD, образующая с диаметром АВ угол 60. Вычислить радиус окружности R, если

СР = а и PD = b.

Дополнительное построение: ОК  DC.

План решения.

1.СК. 2. КР. 3. ОР ( ОКР).

4. Выразить АР через ОР и R.

5. Выразить РВ через ОР и R.

6.Составить равенство АР·РВ = СР·РD.

7.Выразить R из составленного равенства.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 2.1;

№19. Из внешней точки проведена к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет два внутренних отрезка секущей.

Определить длину касательной.

План решения.

1. Выразить AD через АС и DС.

2. Выразить АВ через DС.

3. Составить уравнение.

Рис. 87

4. DС. 5. АВ.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№20. Полуокружность, построенная на меньшем катете, как на диаметре, делит биссектрису острого угла, прилежащего к этому катету, в отношении 1:3. Найти углы треугольника.

План решения.

1. КС – касательная, КВ – секущая,

выразить КС (в частях).

2. sin

3. Ответ: 30⁰, 60⁰.

Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№21. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. На отрезках гипотенузы, определенных основанием перпендикуляра, опущенного на гипотенузу из вершины прямого угла, описаны как на диаметрах окружности. Найти длины отрезков катетов, находящихся внутри этих окружностей.

План решения.

1. .

2. КС (СD – касательная, СА – секущая).

3. АК.

4. Аналогично LB.

Ответ: . Используемые факты из теоретической карты: 2.2.

№22. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М, а боковую сторону ВС в точке N. Найти длины отрезков СN и NM, если АС=а, АВ=b.

План решения.

1. .

2. .

3. .

4. CN∙CB=AC∙CM, CN.

5. MA=NM.

Ответ: ,

Используемые факты из теоретической карты: 1.2; 2.3.