ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Т.Е. Бондаренко, А.С. Потапов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КАРТЫ

И ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

Учебно-методическое пособие

по элементарной математике

2-е издание

ВОРОНЕЖ

ВГПУ

2010

УДК 513 (07)

ББК 22.151я7

Б81

Рецензенты:

кандидат педагогических наук, почетный профессор Э.С. Беляева (ВГПУ)

кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой теории

и методики обучения математике И.Н. Данкова (ВОИПКРО)

Б81	Бондаренко Т.Е., Потапов А.С. Теоретические карты и задачи по планиметрии : учебно-методическое пособие по элементарной математике/ Т.Е. Бондаренко, А.С. Потапов. – Воронеж: ВГПУ, 2010. – 127 с.

Пособие содержит теоретические сведения по основным темам курса планиметрии, представленные в форме карт – справочников. К каждой карте подобран комплекс задач, при решении которых применяются приведённые в ней факты. Задачи сопровождаются чертежами, планами решений и ответами. Пособие предназначено для методического обеспечения курса элементарной математики в педагогическом вузе. Оно может быть использовано учителями средних общеобразовательных учреждений для подготовки учащихся к единому государственному экзамену по математике или для проведения элективного курса в условиях профильного обучения.

УДК 513 (07)

ББК 22.151я7

© Бондаренко Т.Е., Потапов А.С. 2010

© Редакционно-издательское оформление.

Воронежский госпедуниверситет, 2010

Предисловие

В учебном процессе достаточно часто возникает необходимость восстановить у учащихся ранее полученные знания и умения. Например, курс элементарной математики в педагогических вузах основывается на подготовке студентов, полученной в школе. Качество такой подготовки характеризуется состоянием, «если и знали, то забыли». Поэтому возникает необходимость или научить заново, или восстановить достаточно быстро и качественно утраченные знания и умения. Аналогичная ситуация возникает и при обучении школьников. Так, контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена по математике за курс средней школы включают ряд задач, решения которых рассматривались в курсе основной школы (задачи по планиметрии, на проценты, прогрессии и другие). В связи с этим также возникает необходимость в актуализации соответствующих знаний и умений учащихся. Для решения проблемы «реабилитации» подготовки школьников или студентов полезно обладать дидактическими материалами, способствующими достижению поставленной цели. Один из возможных вариантов таких материалов предлагается читателю.

Выбор тематики пособия определяется востребованностью качественной подготовки абитуриентов и студентов по элементарной геометрии (в частности, по планиметрии) и ее крайне низким уровнем.

Пособие состоит из девяти разделов: «Подобные треугольники», «Пропорциональные отрезки», «Окружность», «Биссектрисы углов треугольника», «Медианы треугольника», «Треугольник и окружность», «Площадь треугольника», «Четырехугольники», «Трапеция и параллелограмм».

Каждый раздел включает теоретическую карту по соответствующей теме, доказательства утверждений, содержащихся в ней, и комплекс задач, при решении которых используются утверждения из теоретической карты.

В теоретической карте в компактной и наглядной форме сосредоточены сведения, полезные при решении задач. Так как курс планиметрии предварительно изучался, то он может быть структурно переформирован. Поэтому каждая теоретическая карта объединяет сведения тематически однородные. Содержание таких сведений подобрано из школьных учебников по планиметрии [4], [7], [9]. Однако ряд ценных для решения задач фактов остается за пределами учебников. Поэтому в теоретические карты вошли сведения из различных методических пособий, но основу их содержания составили базисные (ключевые) задачи, представленные в книгах [3], [10].

Доказательства утверждений, содержащихся в теоретических картах, приводятся с целью их изучения. Если такие доказательства имеются в школьных учебниках, то они не рассматриваются, а сопровождаются соответствующими ссылками на литературные источники. К каждой теоретической карте предлагается комплекс задач, которые сопровождаются чертежами, планами решений и ответами. Читателю предлагается самостоятельно найти решение, однако, в случае затруднений, он может воспользоваться приведённым планом – алгоритмом. Накопление опыта - один из способов научиться решать задачи самостоятельно. Задачи подбирались из различных источников, включенных в список литературы. Так, задачи по готовым чертежам приведены из книги [10], достаточно много задач использовано из пособия [3]. Для каждой из них перечисляются те факты теоретической карты, которые используются в процессе решения. При этом задачи подбирались так, чтобы каждое из теоретических утверждений было задействовано.

Настоящее учебное пособие может быть использовано преподавателями элементарной математики в педагогическом вузе, а также школьными учителями в процессе подготовки учащихся к единому государственному экзамену или в качестве содержательной основы элективного курса по планиметрии.

I. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

I.1. Теоретическая карта №1

Рис. 1

1. Определение подобных треугольников

∆А₁В₁С₁~ ∆АВС: и , где

k – коэффициент подобия треугольников.

2. Признаки подобия треугольников

2.1. (по двум углам).

2.2. (по двум сторонам и углу между ними).

2.3. (по трем сторонам).

3. Отношения величин в подобных треугольниках

Пусть коэффициент подобия ∆А₁В₁С₁ и ∆АВС равен k. Тогда

3.1. где - длины медиан ∆А₁В₁С₁, а – длины медиан ∆АВС.

3.2. где – длины высот ∆А₁В₁С₁, а длины высот ∆АВС.

3.3. где - длины биссектрис ∆А₁В₁С₁, а – длины биссектрис ∆АВС.

3.4. где - длина радиуса окружности, вписанной в ∆А₁В₁С₁, а r – длина

радиуса окружности, вписанной в ∆АВС.

3.5. где R₁ – длина радиуса окружности, описанной около ∆А₁В₁С₁, а R – длина радиуса окружности, описанной около ∆АВС.

3.6. где Р₁ – периметр ∆А₁В₁С₁, а Р – периметр ∆АВС.

3.7.