Лабораторная работа №2 [Ишимбай] / №2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЛИАЛ В Г. ИШИМБАЙ

Кафедра Физики и Математики

Отчет по лабораторной работе №2

по предмету «Теория принятия решений»

на тему: Методы спуска.

Вариант задания №7.

Выполнил: студент гр. АТП-308

Шарипов Д.В.

Принял: к. ф.-м. н., ст. преп.

Мугафаров М.Ф.

Ишимбай 2007

Цель работы: ознакомиться с методами покоординатного и градиентного спуска и

применить их для минимизации функции двух переменных.

Краткие теоретические сведения.

Метод покоординатного спуска.

Метод градиентного спуска.

Приведем алгоритм одного из вариантов метода градиентного спуска (с дроблением шага).

Шаг 0. Задать параметр точности  > 0, начальный шаг  > 0, подобрать х  E_n. Вычислить f (х).

Шаг 1. Найти f '(x) и проверить условие достижения точности:

||f  '(x)|| < . Если оно выполнено, вычисления завершить, полагая х^* = х, f ^*=f (х). Иначе – перейти к шагу 2.

Шаг 2. Найти y=x–f  '(x) и f (у). Если f (у) < f (х), то положить x =у, f (х) = f (у) и перейти к шагу 1, иначе – перейти к шагу 3.

Шаг 3. Положить =/2 и перейти к шагу 2.

Задание:

1. Выяснить, является ли функция , где , , , , выпуклой в пространстве .

2. Написать программу минимизации функции с точностью методами покоординатного и градиентного спуска.

Выполнение работы

Все расчеты будем проводить с помощью пакета MathCad.

Для того, чтобы выяснить, является ли исследуемая функция выпуклой в пространстве , изобразим ее графическое представление:

1. опишем исследуемую функцию

2. с помощью команды График Поверхности с панели инструментов графиков и команды

построим график исследуемой функции:

Реализацию метода покоординатного спуска будет осуществлять функция po_koord(x0,y0,eps), входными параметрами которой являются координаты начальной точки приближения и точность приближенного решения . Результатом функции будет значение аргументов функции, доставляющих минимум рассматриваемой функции, само значение этого минимума. Данная функция содержит вспомогательную функцию gold(v,x,a,b,eps), которая минимизирует функцию одной переменной методом золотого сечения. Входными параметрами функции gold(v,x,a,b,eps) являются: a – выбор координаты, по которой минимизируется исследуемая функция двух переменных; x – значение фиксированной переменной; a,b – границы отрезка неопределенности; eps – точность приближенного решения. Приведем листинг функции gold(v,x,a,b,eps):

Приведем листинг функции po_koord(x0,y0,eps):

Результат функции:

Реализацию метода градиентного спуска будет осуществлять функция grad_sp(x0,y0,eps), входными параметрами которой являются координаты начальной точки приближения и точность приближенного решения . Результатом функции будет значение аргументов функции, доставляющих минимум рассматриваемой функции, само значение этого минимума. Данная функция содержит вспомогательные функции fx(x,y) и fy(x,y), которые вычисляют частные производные по переменной x и y соответственно в точке с координатами (x,y), являющимися входными параметрами для данных функций. Приведем листинг функций fx(x,y) и fy(x,y):

Приведем листинг функции grad_sp(x0,y0,eps):

Результат функции:

Как видно результаты обоих методов совпадают с точностью .

Вывод.

В результате проделанной работы познакомились с методами покоординатного и градиентного спуска и применили их для минимизации функции двух переменных. Результаты обоих методов совпали.