9. Показательная ф-ция и ее св-ва.

Опред. ф-цию w=e^z след. образом: e^z=e^x+iy=e^x(cosy+isiny). (если Jm(z)=0, z=x, то e^z=e^x).

Осн. св-ва: 1. | e^z|= e^x; 2. если Re(z)=0, z=iy, то e^z=cosy+isiny (ф-ла Эйлера); 3. e^z явл. аналитичной во всей комп. пл-ти, причем (e^z)’= e^z; 4. ,док-во: ; 5. ф-ция e^z явл. периодической с периодом T₀=2πi; 6. ф-ция w=e^z осущ. конформное отображение комп. пл-ти;

10. Логарифмическая функция и ее свойства.

Число w называется натуральным логарифмом комплекс. Числа z, если e^w=z; обозначается lnz.

Теорема. Любое отличное от нуля комплексное число z имеет бесконечно много логарифмов, которые определяются по формуле:

Lnz=ln|z|+i(argz+2k), (kZ)

Док-во. Пусть w=u+iv , z=x+iy

w=lnz  e^w=z  e^u+iv=x+iye^u*cosv+ie^u*sinv=x+iy А можно записать x+iy в тригонометрической форме:

e^u(cosv+isinv)=|z|(cos+isin) => Lnz=lnz+i(argz+2k).

Пример. Ln(-1)

Ln(-1)=ln|-1|+i(arg(-1)+2k)=i(+2k), kZ

Замечание. Все логарифмы комплекского числа z расположены на прямой, параллельной линии оси. Если z=xR₊ , то все логарифмы будут мнимыми.

Свойства логарифмической функции:

1. Функция w=lnz является многозначной;

2. Для любых z₁,z₂C\{0} ln(z₁,z₂)=lnz₁+lnz₂; ln(z₁/z₂)=lnz₁-lnz₂

Замечание. Последние равенства понимаются как равенство двух множеств.

Пример. Ln((-1)+1)=ln(-1)=i =>Ln(-1)+ln1=i*3+0=3i

1. Значения различны, но множества совпадают.

2. Замечание. Главным логарифмом z для действительных чисел совпадает со школьным логарифмом.

Свойства главного логарифма:

1. Главный логарифм определен для любого zC\{0}

2. Главный логарифм – непрерывная функция на всей комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси.

3. Главный логарифм – аналитическая функция во всей комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси: (lnz)’=1/z

11. Тригонометрические ф-ции.

синус комп. числа z опред. по формуле: ;

косинус комп. числа z оред. по формуле: ;

зам. данные определения естественны ( ).

Осн. св-ва: 1. cos - четная ф-ция, sin - нечетная ф-ция. 2. sin и cos явл. периодическими с периодом 2π. 3. Для sin и cos сохр. все привычные тригоном. тождества (как ). 4. sin и cos явл. аналит. во всей комп. пл-ти. 5. sin и cos явл. неограниченными.

опр. гиперб. косинусом наз. величина .

6.

12. Понятие интеграла от функции комплексной переменной. Условия существования интеграла от функции комплексной переменной.

Пусть на плоскости компл. переме-го задана спрямляемая кривая Г и вдоль этой кривой определена функция w=f(z)

Разобьем кривую Г точками z0, z1… на частичные дуги и выберем на каждой из этих дуг произвольную точку где (k=1…n)

Составим сумму Опр: сумму вида наз-ся интегральной суммой для ф-ии на кривой соответствующей данному разбиению кривой на частичные дуги и выбора точек С.

Обозначим через наибольшую из длин

Опр:Если сущ-ет конечный придел интегральных сумм при , то его называют интегралом от ф-ии по кривой Г и обозначают

Замечание: если кривая Г лежит в , а ф-я переменной x, то понятие интеграла ф-ии совпадает с обычным опред. интегралом. (Опред. интеграл это частный случай интеграла от ф-ии комплексной переменной)

Теорема(Если Г-гладкая кривая на плоскости, а ф-я неприрывная на Г, то сущ.интегралл )

Док-во:

Покажем, что сущ. придел интегрир-я суммы

Разобьем кривую Г точками z0, z1… выберем на каждой из частичных дуг точку где (k=1…n) и пусть задана:

введем обозначение

Составим интегральную сумму:

Обозначим

Заметим, что является интегрир. суммой для ф-ии u(x,y)-v(x,y) вдоль кривой Г, а - интегрир. сумма для v(x,y)+u(x,y)

Т к неприрывна вдоль кривой Г, значит неприрывны u(x,y) и v(x,y) (а значит по т со 2 курса) существуют приделы

где d-это диаметр разбиения кривой Г на частичные дуги из опр-я криволин-го интеграла 2-го рода Т к , то значит:

Замечание: 1) из док-ва видно, что вычисление интег-ла сводиться к вычислению 2х интег-лов 2го рода

2) Если Г=[a,b] и ф-я то

пользуясь формулой для вычисления криволин-го интеграла :

Пример:

где Г=[-1+i;1-2i]

Зададим прямую проходящую (-1;1) (1;-2)